Điều kiện \(y\geq \frac{1}{2}\)
\(\sqrt{5x^{2}+2xy+y^{2}}=\sqrt{(2x+y)^{2}+(x-y)^{2}}\geq \left | 2x+y \right |\geq 2x+y\)
\(\sqrt{2x^{2}+2xy+5y^{2}}=\sqrt{(x+2y)^{2}+(x-y)^{2}}\geq \left | x+2y \right |\geq x+2y\)
\(\Rightarrow \sqrt{5x^{2}+2xy+y^{2}}+\sqrt{2x^{2}+2xy+5y^{2}}\geq 3x+3y\)
(dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y và x, y dương)
Nên từ phương trình 2 ta có x = y
Thay y = x vào phương trình (1) ta có
\(2x^{3}-x^{2}-2x+\sqrt{2x-1}=0\Leftrightarrow (2x^{3}-x^{2}-2x+1)+(\sqrt{2x-1}-1)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)(2x^{2}+x-1)+\frac{2(x-1)}{\sqrt{2x-1}+1}=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)(2x^{2}+x-1)+\frac{2}{\sqrt{2x-1}+1}=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x=1\\2x^{2}+x-1+\frac{2}{\sqrt{2x-1}+1}=0\; \; \; (3) \end{matrix}\)
Với x = 1 ⇒ y = 1 (thỏa mãn điều kiện)
Ta có \(x\geq \frac{1}{2}\Rightarrow 2x^{2}+x-1=(x+1)(2x-1)\geq 0\Rightarrow 2x^{2}+x-1+\frac{2}{\sqrt{2x-1}+1}>0\)
Nên phương trình (3) vô nghiệm
Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; 1)
