Đặt: \(\left\{\begin{matrix} X=x+1\\ Y=y \end{matrix}\right.\) được hệ \(\left\{\begin{matrix} (X-1)(Y^2+6)=Y(X^2+1)\ \ (1) \\ (Y-1)(X^2+6)=X(Y^2+1) \ \ (2) \end{matrix}\right.\)

Lấy (1) + (2) vế theo vế thu gọn được:
\(\left ( X-\frac{5}{3} \right )^2+\left ( Y-\frac{5}{2} \right )^2=\frac{1}{2} \ (3)\)
Mặt khác (1) trừ (2) theo vế, thu gọn được:
\((X- Y) (X+ Y- 2XY +7)= 0 \ (4)\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} X=Y\\ X+Y-2XY+7=0 \end{matrix}\)
Trường hợp 1: X = Y thay vào (1) được: \((X-1)(X^2+6)=X(X^2+1)\)
\(\Leftrightarrow X^2-5X+6=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} X=2\\ X=3 \end{matrix}\)
Nên hệ đã cho có nghiệm: \((x; y ): (1;2) ; (2;3 )\)
Trường hợp 2: \(X+Y-2XY+7=0\Leftrightarrow \left ( X-\frac{1}{2} \right )\left ( Y-\frac{1}{2} \right )=\frac{15}{4} \ \ (5)\)
Từ (3) và (5) đồng thời đặt: \(\left\{\begin{matrix} a=X-\frac{5}{3}\\ b=Y-\frac{5}{2} \end{matrix}\right.\) ta được hệ:
\(\left\{\begin{matrix} a^2+b^2=\frac{1}{2}\\ (a+2)(b+2)=\frac{15}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+b^2=\frac{1}{2}\\ 2ab+4(a+b)=-\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2+4(a+b)=0\\ (a-b)^2-4(a+b)=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \bigg \lbrack\begin{matrix} a+b=0\\ a+b=-4 \end{matrix}\\ (a-b)^2-4(a+b)=1 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} a+b=0\\ (a-b)^2=1 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} a+b=-4\\ (a-b)^2=-15 \ (loai) \end{matrix}\right.\\ \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} a=-\frac{1}{2}\\ b=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{2}\\ b=-\frac{1}{2} \end{matrix}\right. \end{matrix}\)
Suy ra các nghiệm: (X;Y) là (2;3) ; (3; 2)
Nên hệ đã cho có nghiệm (x; y) là (1;3) ; (2;2)
Đáp số: Nghiệm (x; y) là (1;2); (2;3); (1;3); (2;2)