a) Xét ΔBHC vuông tại H và ΔCKB vuông tại K có

CB chung

ˆBCH=CBK^(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔBHC=ΔCKB(cạnh huyền-góc nhọn)

b) Ta có: ΔBHC=ΔCKB(cmt)

nên HC=KB(hai cạnh tương ứng)

Ta có: AK+KB=AB(K nằm giữa A và B)

AH+HC=AC(H nằm giữa A và C)

mà AB=AC(ΔABC cân tại A)

và KB=HC(cmt)

nên AK=AH

Xét ΔAKH có AK=AH(cmt)

nên ΔAKH cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)

c) Ta có: ΔAKH cân tại A(cmt)

nên ˆAKH=1800−ˆA2AKH^=1800−A^2(Số đo của một góc ở đáy trong ΔAKH cân tại A)(1)

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

nên ˆABC=1800−ˆA2ABC^=1800−A^2(Số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(2)

Từ (1) và (2) suy ra ˆAKH=ABC^

mà ˆAKH và ˆABC là hai góc ở vị trí đồng vị

nên HK//BC(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

d)

`1)`

Vì `ΔABC` cân tại `A`

`⇒AB=AC(` tính chất `Δ` cân `)`

Xét `2Δ` vuông `ABH` và `ACK` có:

           `hat{A}:chung`

           `AB=AC(cmt)`

`⇒ΔABH=ΔACK(` cạnh huyền-góc nhọn `)(đpcm)`

`2)`

Vì `ΔABC` cân tại `A`

`⇒hat{ABC}=hat{ACB}(` tính chất `Δ` cân `)`

Xét `2Δ` vuông `BKC` và `CHB` có:

         `hat{KBC}=hat{HCB}(cmt)`

           `BC:chung`

`⇒ΔBKC=ΔCHB(` cạnh huyền-góc nhọn `)`

`⇒hat{C_1}=hat{B_1}(2` góc tương ứng `)`

`⇒ΔOBC` cân tại `O`

`⇒OB=OC(` tính chất `Δ` cân `)(đpcm)`

`3)`

Theo câu `2)ΔBKC=ΔCHB(` cạnh huyền-góc nhọn `)`

`⇒BK=CH(2` cạnh tương ứng `)`

Ta có:`AB=AK+BK`

         `AC=AH+CH`

Mà `AB=AC(cmt)` 

      `BK=CH(cmt)`

`⇒AK=AH`

`⇒ΔAKH` cân tại `A`

`⇒hat{AKH}=(180^o-hat{A})/2(1)`

Vì `ΔABC` cân tại `A`

`⇒hat{ABC}=(180^o-hat{A})/2(2)`

Từ `(1)` và `(2)⇒hat{AKH}=hat{ABC}`

Mà `2` góc này nằm ở vị trí đồng vị

`⇒KH``/``/``BC(đpcm)`

`4)`

Vì `KH``/``/``BC(cmt)`

Hay `IC``/``/``KH`

Xét `ΔKHE` có:

`IC``/``/``KH(cmt)`

`CE=CH(g``t)`

`⇒IC` là đường trung bình của `ΔKHE`

`⇒I` là trung điểm của `EK(` tính chất đường trung bình của `Δ)(đpcm)`