Đáp án:
$S_{\text{tô đậm}} =3,6cm^2$
Giải thích các bước giải:
Gọi $R$ là bán kính đường tròn đường kính $AM$
Ta có:
Đường tròn đường kính $AM$ tiếp xúc với $BC$ tại $N$
$\to ON\bot BC=N$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {ONB} = \widehat {CAB} = {90^0}\\
\widehat Bchung
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta ONB \sim \Delta CAB\left( {g.g} \right)\\
\Rightarrow \dfrac{{ON}}{{CA}} = \dfrac{{OB}}{{CB}}\\
\Rightarrow \dfrac{R}{{CA}} = \dfrac{{AB - R}}{{CB}}\\
\Rightarrow \dfrac{R}{{CA}} = \dfrac{{AB - R}}{{CB}} = \dfrac{{R + AB - R}}{{CA + CB}} = \dfrac{{AB}}{{CA + CB}}
\end{array}$
Mà lại có:
$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat A = {90^0};AB = 6cm;AC = 3cm\\
\Rightarrow BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 3\sqrt 5 cm\\
\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{CA + CB}} = \dfrac{6}{{3 + 3\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\\
\Rightarrow \dfrac{R}{{CA}} = \dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\\
\Rightarrow R = CA.\dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\\
\Rightarrow R = \dfrac{{3\sqrt 5 - 3}}{2}
\end{array}$
Ta có:
$\begin{array}{l}
{S_{\text{tô đậm}}} = {S_{ABC}} - {S_{\text{nửa tròn}}}\\
= \dfrac{1}{2}AB.AC - \dfrac{1}{2}\pi {R^2}\\
= \dfrac{1}{2}.6.3 - \dfrac{1}{2}\pi .{\left( {\dfrac{{3\sqrt 5 - 3}}{2}} \right)^2}\\
= 3,6\left( {c{m^2}} \right)
\end{array}$
Vậy $S_{\text{tô đậm}} =3,6cm^2$
