Đáp án: $m\ge \dfrac23$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$y'=mx^2-2(m-1)x+3(m-2)$
Để hàm số đồng biến trên nửa khoảng $[2,+\infty)$
$\to mx^2-2(m-1)x+3(m-2)\ge 0,\quad\forall x\in [2,+\infty)$
$\to mx^2-2mx+2x+3m-6\ge 0$
$\to (mx^2-2mx+3m)\ge -2x+6$
$\to m(x^2-2x+3)\ge -2x+6$
$\to m\ge \dfrac{-2x+6}{x^2-2x+3}$ vì $x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0$
Mà
$\dfrac23-\dfrac{-2x+6}{x^2-2x+3}=\dfrac{2x^2+2x-12}{3\left(x^2-2x+3\right)}$
Do $x\ge 2\to 2x^2+2x-12\ge 2\cdot 2^2+2\cdot 2-12=0$
$\to \dfrac{2x^2+2x-12}{3\left(x^2-2x+3\right)}\ge 0$
$\to \dfrac23-\dfrac{-2x+6}{x^2-2x+3}\ge 0$
$\to \dfrac{-2x+6}{x^2-2x+3}\le \dfrac23$
$\to m\ge \dfrac23$
