Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$ĐK: x\ge 0$
Dễ thấy $P\ge0$
Ta có $P=\frac{5\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{5}{3}+\frac{5}{3}$
$\Rightarrow P=\frac{-\frac{5}{3}.x+5\sqrt{x}-\frac{5}{3}x-\frac{5}{3}}{x+\sqrt{x}+1}$
$\Rightarrow \frac{\frac{-5}{3}(\sqrt{x}-1)^2}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{5}{3} \le \frac{5}{3}$ (do $x+\sqrt{x}+1 \ge \frac{3}{4} \forall x\ge 0$)
Từ đó suy ra $ 0 \le P\le\frac{5}{3}$
Mà theo đề P nguyên nên \(\left[ \begin{array}{l}P=0\\P=1\end{array} \right.\)
Với $P=0$ thì $\sqrt{x}=0 \Leftrightarrow x=0$
Với $P=1$ thì $5\sqrt{x}=x+\sqrt{x}+1⇔\left[ \begin{array}{l}\sqrt{x}=2+\sqrt{3}\\\sqrt{x}={2-\sqrt{3}}\end{array} \right.\ $
Vậy \(\left[ \begin{array}{l}x=(2+\sqrt{3})^2\\x=(2-\sqrt{3})^2\\x=0\end{array} \right.\) thì P nguyên
