Đáp án:
Giải thích các bước giải: Tham khảo
ĐKXĐ $:x\neq0; x\neq-1$
Đặt $:a = \dfrac{1}{x} ⇔ x = \dfrac{1}{a}; b = \dfrac{1}{x + 1} $
Thay vào $PT ⇔ a² + b² = 15 (1)$
$ b = \dfrac{1}{x + 1} ⇔ x + 1 = \dfrac{1}{b} ⇔ \dfrac{1}{a} + 1 = \dfrac{1}{b}$
$ ⇔ ab + b = a ⇔ ab - (a - b) = 0 ⇔ 2ab - 2(a - b) = 0 (2)$
$(1) - (2) $ vế với vế $: a² - 2ab + b² + 2(a - b) = 15$
$ ⇔ (a - b)² + 2(a + b) + 1 = 16$
$ ⇔ (a - b + 1)² = 16 = 4²$
TH1 $: a - b + 1 = 4 ⇔ a - b = 3$ thay vào $(2) ⇒ ab = 3$
$ ⇔ a(a - 3) = 3 ⇔ a² - 3a = 3 ⇔ a² - 2.a.\dfrac{3}{2} + \dfrac{9}{4} = 3 + \dfrac{9}{4}$
$ ⇔ (a - \dfrac{3}{2})² = \dfrac{21}{4} ⇔ a - \dfrac{3}{2} = ±\dfrac{\sqrt{21}}{2}$
$ ⇔ a = \dfrac{3 ± \sqrt{21}}{2} ⇔ x = \dfrac{2}{3 ± \sqrt{21}}$
$ ⇔ x = \dfrac{\sqrt{21} - 3}{9}; x = - \dfrac{\sqrt{21} + 3}{9}; $
TH1 $: a - b + 1 = - 4 ⇔ a - b = - 5$ thay vào $(2) ⇒ ab = - 5$
$ ⇔ a(a + 5) = - 5 ⇔ a² + 5a = - 5 ⇔ a² + 2.a.\dfrac{5}{2} + \dfrac{25}{4} = \dfrac{25}{4} - 5$
$ ⇔ (a + \dfrac{5}{2})² = \dfrac{5}{4} ⇔ a + \dfrac{5}{2} = ±\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
$ ⇔ a = \dfrac{- 5 ± \sqrt{5}}{2} ⇔ x = \dfrac{2}{ - 5 ± \sqrt{5}}$
$ ⇔ x = - \dfrac{5 + \sqrt{5}}{10}; x = \dfrac{\sqrt{5} - 5}{10}; $
