Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đối xứngGiải chi tiết:Phương trình (1) tương đương: \(\left( {{x^3} - 7} \right)\sqrt {{x^3} - 7}  + 4\left( {{x^3} - 7} \right) + 3\sqrt {{x^3} - 7}  = {x^3} + {x^2} - 2x\)\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{x^3} - 7} } \right)^3} + 4{\left( {\sqrt {{x^3} - 7} } \right)^2} + 3\sqrt {{x^3} - 7}  = \left( {{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1} \right) + 4\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 3\left( {x - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{x^3} - 7} } \right)^3} + 4{\left( {\sqrt {{x^3} - 7} } \right)^2} + 3\sqrt {{x^3} - 7}  = {\left( {x - 1} \right)^3} + 4{\left( {x - 1} \right)^2} + 3\left( {x - 1} \right)\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)Đặt \(a = \sqrt {{x^3} - 7} ,b = x - 1\left( {a,b \ge 0} \right)\). Thay vào phương trình \(\left( 2 \right)\) ta được :\(\begin{array}{l}{a^3} + 4{a^2} + 3a = {b^3} + 4{b^2} + 3b \Leftrightarrow {a^3} - {b^3} + 4\left( {{a^2} - {b^2}} \right) + 3\left( {a - b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left[ {{a^2} + ab + {b^2} + 4\left( {a + b} \right) + 3} \right] = 0\\Do\,\,\,\,{a^2} + ab + {b^2} + 4\left( {a + b} \right) + 3 > 0 \Rightarrow a = b\end{array}\)\(\begin{array}{l}a = b \Leftrightarrow \sqrt {{x^3} - 7}  = x - 1 \Leftrightarrow {x^3} - 7 = {x^2} - 2x + 1\\ \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} + 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = 2\,\,({\rm{do}}\,\,{x^2} + x + 4 > 0)\end{array}\)Thử lại \(x = 2\) thỏa mãn.Vậy phương trình có nghiệm \(x = 2\).