Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix}(2x+\sqrt{1+4x^{2}})(y+\sqrt{1+y^{2}})=1 \\ x\sqrt{x-y-xy+1}=2xy+x-y+1 \end{matrix}\right.\)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABC vuông tại A và D; diện tích hình thang bằng 6; CD = 2AB, B(0; 4). Biết điểm I(3; -1), K(2; 2) lần lượt nằm trên đường thẳng AD và DC. Viết phương trình đường thẳng AD biết AD không song song với các trục tọa độ.

Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+xy+1=4y\\y(x+y)^{2}=2x^{2}+7y+2 \end{matrix}\right.\; \; (x,y\in R).\)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;5), đường phân giác trong của góc A có phương trình x - 1 = 0, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \(I(-\frac{3}{2};0)\) và điểm M(10;2) thuộc đường thẳng BC. Tìm tọa độ đỉnh B và C.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình \((K):(x-3)^2+y^2=25\), H là chân đường cao hạ từ B, D là trung điểm của cạnh BC, đường thẳng DH có phương trình 3x - 4y - 18 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường thẳng BC đi qua điểm E(6;-1), hoành độ điểm A là số âm và tung độ điểm C là số âm.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD \((\widehat{BAD}=\widehat{ADC}=90^{0})\) có đỉnh D(2;2) và CD = 2AB. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm D lên đường chéo AC. Điểm \(M(\frac{22}{5};\frac{14}{5})\) là trung điểm của HC. Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C, biết rằng đỉnh B thuộc đường thẳng \(\Delta : x - 2y + 4 = 0.\)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của đoạn BC, G là trọng tâm tam giác ABM, D(7; -2) là điểm nằm trên đoạn MC sao cho GA = GD. Viết phương trình đường thẳng AB của tam giác ABC biết đỉnh A có hoành độ nhỏ hơn 4 và phương trình đường thẳng AG là 3x - y - 13 = 0.

Help me!

Cho \(tan\alpha =\frac{1}{2}(\beta \in (0;\frac{\pi}{2}))\). Tính giá trị biểu thức: \(P=\frac{2sin\frac{\pi}{2}+3cos\frac{\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}+2cos\frac{\alpha }{2}}+\frac{1}{\sqrt{5}}\)

Chứng minh rằng: Với mọi ΔABC ta đều có
\(\small (sin\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2})(cot\frac{A}{2}+cot\frac{B}{2}+cot\frac{C}{2})\geq \frac{9\sqrt{3}}{2}\)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường thẳng BC có phương trình y = 0. M là trung điểm cạnh BC, điểm E thuộc đoạn MC. Gọi \(O_1(2;\frac{1}{2}); O_2(7;8)\) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACE. Tìm tọa độ các điểm E và M, biết rằng hoành độ điểm E lớn hơn hoành độ điểm M.