`\qquad x^2+12x=y^2`
`<=>x^2+2.x.6+36-y^2=36`
`<=>(x+6)^2-y^2=36`
`<=>(x+6+y)(x+6-y)=36`
Ta có:
`x;y;6\in Z=>(x+6+y);(x+6-y)\in Z`
`(x+6+y)-(x+6-y)=2y\ \vdots \ 2`
`=>(x+6+y)` và $(x+6-y)$ cùng tính chẵn lẻ
$\\$
Ta có các trường hợp sau:
+) $TH1: \begin{cases}x+6+y=18\\x+6-y=2\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x=12-y\\12-y+6-y=2\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x=12-y\\2y=16\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x=12-8=4\\y=8\end{cases}$
`=>(x;y)=(4;8)`
$\\$
+) $TH2: \begin{cases}x+6+y=6\\x+6-y=6\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x=-y\\-y+6-y=6\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x=-y\\-2y=0\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}$
`=>(x;y)=(0;0)`
$\\$
+) $TH3: \begin{cases}x+6+y=2\\x+6-y=18\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x=-4-y\\-4-y+6-y=18\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x=-4-y\\-2y=16\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x=-4-(-8)=4\\y=-8\end{cases}$
`=>(x;y)=(4;-8)`
$\\$
+) $TH4: \begin{cases}x+6+y=-18\\x+6-y=-2\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x=-24-y\\-24-y+6-y=-2\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x=-24-y\\-2y=16\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x=-24-(-8)=-16\\y=-8\end{cases}$
`=>(x;y)=(-16;-8)`
$\\$
+) $TH5: \begin{cases}x+6+y=-6\\x+6-y=-6\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x=-12-y\\-12-y+6-y=-6\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x=-12-y\\-2y=0\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x=-12\\y=0\end{cases}$
`=>(x;y)=(-12;0)`
$\\$
+) $TH6: \begin{cases}x+6+y=-2\\x+6-y=-18\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x=-8-y\\-8-y+6-y=-18\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x=-8-y\\-2y=-16\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x=-8-8=-16\\y=8\end{cases}$
`=>(x;y)=(-16;8)`
$\\$
Vậy phương trình có nghiệm nguyên `(x;y)\in {(4;8);(0;0);(4;-8);(-16;-8);(-12;0);(-16;8)}`
