Đáp án:
\(m\in \left[-1;\dfrac{1+\sqrt3}{2}\right]\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
\quad 9^{\cos^2x} - 2.3^{\vert \cos x\vert} + 2m - 1 =0\\
\text{Đặt}\ t = \vert\cos x\vert\\
\vert\cos x\vert \in [0;1] \Rightarrow t\in [0;1]\\
\text{Phương trình trở thành:}\\
\quad 9^{t^2} - 2.3^t - 1 = -2m\qquad (*)\\
\text{Đặt}\ f(t) = 9^{t^2} - 2.3^t - 1\\
\text{Số nghiệm của $(*)$ đúng bằng số giao điểm của $y= f(t)$ và $y = -2m$}\\
\text{Ta có:}\ f'(t) = 2t.9^{t^2}.\ln9 - 2.3^t.\ln3\\
f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac12\\
\text{Bảng biến thiên:}\\
\begin{array}{|c|cr|}
\hline
t & -\infty & & 0 & & & \dfrac{1}{2}\quad & & & 1 & & +\infty\\
\hline
f'(t) & & - & \vert& & - & 0\quad\ & + & &\vert& + &\\
\hline
&&&-2&&&&&&2\\
f(t) & && \vert&\searrow& & && \nearrow&\vert &\\
&&&\vert&&&-1 -\sqrt3&&&\vert\\
\hline
\end{array}\\
\text{Dựa vào bảng biến thiên, ta được:}\\
\mathop{\min}\limits_{[0;1]}f(t) = f\left(\dfrac12\right) = -1-\sqrt3\\
f(0) = -2;\quad f(1) = 2\\
(*)\ \text{có nghiệm}\ \Leftrightarrow \mathop{\min}\limits_{[0;1]}f(t) \leqslant -2m \leqslant \mathop{\max}\limits_{[0;1]}f(t)\\
\Leftrightarrow -1 -\sqrt3 \leqslant -2m \leqslant 2\\
\Leftrightarrow -1 \leqslant m \leqslant \dfrac{1+\sqrt3}{2}\\
\text{Vậy}\ m\in \left[-1;\dfrac{1+\sqrt3}{2}\right]
\end{array}\)
