Đáp án:
Giải thích các bước giải:
1) $7 = \dfrac{1}{tan^{2}a} + \dfrac{1}{cot^{2}a} + \dfrac{1}{sin^{2}a} + \dfrac{1}{cos^{2}a}$
$ = \dfrac{sin^{4}a + cos^{4}a + sin^{2}a + cos^{2}a}{sin^{2}acos^{2}a}$
$ = \dfrac{(sin^{2}a + cos^{2}a)^{2} - 2sin^{2}acos^{2}a + 1}{sin^{2}acos^{2}a}$
$ = \dfrac{2 - 2sin^{2}acos^{2}a}{sin^{2}acos^{2}a} $
$ = \dfrac{2}{sin^{2}acos^{2}a} - 2$
$ => \dfrac{2}{sin^{2}acos^{2}a} = 9 => sin^{2}acos^{2}a = \dfrac{2}{9}$
Do đó ta có:
$ cos4a = 1 - 2sin^{2}2a = 1 - 8sin^{2}acos^{2}a = 1 - 8.\dfrac{2}{9} = - \dfrac{7}{9}$
2) Biến đổi $sina; cosa $ qua $ t = tan\dfrac{a}{2}$
$ sina + cosa = cot\dfrac{a}{2}$
$ <=> \dfrac{2t}{1 + t^{2}} + \dfrac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} = \dfrac{1}{t}$
$ <=> 2t^{2} + t - t^{3} = 1 + t^{2}$
$ <=> t^{3} - t^{2} - t + 1 = 0$
$ <=> (t + 1)(t - 1)^{2} = 0$
Vì $ 0 < a < 180^{0} => 0 < \dfrac{a}{2} < 90^{0} => t > 0$
$ => t - 1 = 0 => t = 1$
Do đó $: tan(\dfrac{a + 2013.180^{0}}{2}) = tan(\dfrac{a}{2} + 90^{0} + 1006.180^{0})$
$ = tan(\dfrac{a}{2} + 90^{0}) = - cot\dfrac{a}{2} = - \dfrac{1}{t} = - 1$
