Đáp án: `P_{min}=(a+b)^2⇔x=\frac{a}{a+b};y=\frac{b}{a+b}(x+y=1;a,b>0)`
Giải thích các bước giải:
Ta có: `\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}≥(a+b)^2`
`⇔\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}≥\frac{(a+b)^2}{x+y}`
`⇔\frac{a^2 y+b^2 x}{xy}≥\frac{(a+b)^2}{x+y}`
$⇔(a^2y+b^2x)(x+y)≥xy(a+b)^2$
$⇔a^2xy+a^2y^2+b^2x^2+b^2xy≥xy(a^2+2ab+b^2)$
$⇔a^2xy+a^2y^2+b^2x^2+b^2xy≥a^2xy+2abxy+b^2xy$
$⇔a^2y^2-2abxy+b^2x^2≥0$
$⇔(ay-bx)^2≥0$ (luôn đúng)
$⇒P≥(a+b)^2$
Dấu bằng xảy ra
`⇔(ay-bx)^2≥0⇔ay-bx=0⇔ay=bx⇔\frac{x}{a}=\frac{y}{b}`
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
`\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{x+y}{a+b}=\frac{1}{a+b}`
`⇒x=\frac{a}{a+b};y=\frac{b}{a+b}`
