a) Ta có: BM⊥AC ⇒ góc BMC = 90°.
CN⊥AB ⇒ góc BNC = 90°.
⇒ góc BMC và góc BNC cùng nhìn cạnh BC dưới một góc không đổi.
⇒ Tứ giác BCMN nội tiếp được trong một nửa đường tròn.
b) Gọi K là giao điểm của AO và đường tròn (O) , thì ta có góc KAB = 90°.
⇒ BK⊥AB ⇒ BK//CH. (1)
Lại có: góc ACK = 90° ⇒ CK⊥AC⇒ CK//BH. (2)
Từ (1) và (2) ⇒ BK//CH ⇒ BHCK là hình bình hành.
c) Gọi I là giao điểm của AH và BC, F là trung điểm của BC.
Vì khi A thay đổi, BC cố định và tam giác ABC luôn nhọn nên H nằm trong tam giác ABC.
Có: $S_{BCH}$ = $\frac{1}{2}BC.HI$
→ $S_{BCH}$ lớn nhất khi $HI$ lớn nhất ↔ $AI$ lớn nhất ↔ $I=F$.
Mà F là trung điểm của BC → tam giác ABC cân tại A ↔ AB = AC.
→ A nằm chính giữa cung BC.
Vậy a) Tứ giác BCMN là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) BHCK là hình bình hành.
c) $Max_{BCH}$ ↔ A nằm chính giữa cung BC.
