Đáp án:

$a)\quad (Q_1;Q_2) = \left(\dfrac{114}{5};\dfrac{156}{5}\right)$

$\qquad \left(P_1;P_2\right) = \left(\dfrac{128}{5};\dfrac{133}{5}\right)$

$b)\quad MC_{Q_1} =- \dfrac{633}{5}$

$\qquad MC_{Q_2} = \dfrac{378}{5}$

Giải thích các bước giải:

$\quad Q_{1} = 40 - 2P_1 + P_2$

$\quad Q_{2} = 35 + P_1 - P_2$

$\Rightarrow \begin{cases}P_1 = 75- Q_1 - Q_2\\P_2 = 110 - Q_1 - 2Q_2\end{cases}$

$\quad TC = Q_1^2+ Q_2^2 - 6Q_1Q_2 + 15Q_1+ 150Q_2$

a) Doanh thu:

$\quad TR = P_1Q_1 + P_2Q_2$

$\Leftrightarrow TR = Q_1(75- Q_1 - Q_2) + Q_2(110 - Q_1 - 2Q_2)$

$\Leftrightarrow TR = - Q_1^2 + 75Q_1 - 2Q_1Q_2 + 110Q_2 - 2Q_2^2$

Lợi nhuận:

$\quad \Pi = TR - TC$

$\Leftrightarrow \Pi = - Q_1^2 + 75Q_1 - 2Q_1Q_2 + 110Q_2 - 2Q_2^2 - (Q_1^2+ Q_2^2 - 6Q_1Q_2 + 15Q_1+ 150Q_2)$

$\Leftrightarrow \Pi = - 2Q_1^2 + 60Q_1 + 4Q_1Q_2 + 95Q_2 - 3Q_2^2$

Tối đa hoá lợi nhuận

$\Leftrightarrow \Pi_{\max}$

Toạ độ điểm dừng là nghiệm của hệ:

$\quad \begin{cases}\Pi_{Q_1}' = 0\\\Pi_{Q_2}' = 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} - 4Q_1 + 60 + 4Q_2 = 0\\- 6Q_2 + 95 + 4Q_1 = 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}Q_1 = \dfrac{114}{5}\\Q_2 =\dfrac{156}{5}\end{cases}$

Xét $\begin{cases}A = \Pi_{Q_1Q_1}'' = -4 < 0\\B = \Pi_{Q_1Q_2}'' = 4\\C =\Pi_{Q_2Q_2}'' = - 6\end{cases}$

$\Rightarrow B^2 - AC = - 8 < 0$

Vậy tại điểm dừng $(Q_1;Q_2) = \left(\dfrac{114}{5};\dfrac{156}{5}\right)$ lợi nhuận đạt tối đa

Khi đó: $\left(P_1;P_2\right) = \left(\dfrac{128}{5};\dfrac{133}{5}\right)$

b) Ta có:

$MC_{Q_1} = TC_{Q_1}' = 2Q_1 - 6Q_2 + 15$

$MC_{Q_2} = TC_{Q_2}' = 2Q_2 - 6Q_1 + 150$

Tại mức sản lượng tối ưu $(Q_1;Q_2) = \left(\dfrac{114}{5};\dfrac{156}{5}\right)$ ta được:

$MC_{Q_1} = 2\cdot \dfrac{114}{5} - 6\cdot \dfrac{156}{5} + 15= -\dfrac{633}{5}$

$MC_{Q_2} = 2\cdot \dfrac{156}{5} -6\cdot \dfrac{114}{5}  + 150= \dfrac{378}{5}$