Đáp án:
Giải thích các bước giải:
d)
$\bullet \,\,$câu c đã làm rồi thì ta sẽ có được $\Delta DOE$ vuông tại $O$
$\bullet \,\,$Xét $\Delta DOE$ vuông tại $O$ có $OM$ là đường cao:
$\to O{{M}^{2}}=MD.ME$
Mà:
$O{{M}^{2}}={{R}^{2}}$
$MD=AD$
$ME=BE$
$\to {{R}^{2}}=AD.BE$
Mà ${{R}^{2}}$ là hằng số
Vậy tích $AD.BE$ luôn luôn bằng ${{R}^{2}}$ khi $M$ di động trên đường tròn $\left( O \right)$
e)
$\bullet \,\,$Chu vi hình thang $ABED=AB+BE+ED+DA$
Mà $AB=2R$ thì không thay đổi
Vậy ta chỉ xét $BE+ED+DA$
$BE+ED+DA$
$=ME+ED+MD$
$=ED+ED$
$=2ED$
Vậy để chu vi hình thang $ABED$ nhỏ nhất thì cạnh $ED$ phải nhỏ nhất
$\bullet \,\,$Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:
$M{{E}^{2}}+M{{D}^{2}}\ge 2ME.MD$
$M{{E}^{2}}+M{{D}^{2}}+2ME.MD\ge 4ME.MD$
$E{{D}^{2}}\ge 4{{R}^{2}}$
Dấu $''=''$ xảy ra khi $ME=MD$
Hay $M$ là trung điểm $ED$
Vậy $ED$ nhỏ nhất khi $M$ là trung điểm $ED$
$\bullet \,\,$Hình thang $ABED$ có $O,M$ lần lượt là trung điểm $AB,ED$ nên $OM$ là đường trung bình của hình thang $ABED$
$\to OM//AD//BE$
Mà $AD\bot AB$
$\to OM\bot AB$
$OM$ vuông góc với đường kính $AB$
$\to M$ là điểm chính giữa của nữa đường tròn $\left( O \right)$, đường kính $AB$
