Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Xét `ΔABC` vuông tại `A`, trung tuyến `AM`
`⇒ AM=MB=MC`
`⇒ ΔAMB` cân tại `M`
`⇒ \hat{ABM}=\hat{BAM}`
Ta có: `\hat{PBA}+\hat{ABM}=90^{0}`
`\hat{PAB}+\hat{BAM}=90^{0}`
`⇒ \hat{PBA}=\hat{PAB}`
`⇒ ΔAPB` cân tại `P⇒ AP=BP`
Cmtt `ΔAQC` cân tại `Q⇒AQ=CQ`
b) Gọi `PC∩AH={I}`
Ta có: `AH //// BP //// CQ` (`⊥BC)`
`ΔAIP ~ ΔQCP` (g-g)
`⇒ \hat{AI}{QC}=\hat{IP}{CP}=\hat{AP}{PQ}`
`⇒ AI=\frac{IP.QC}{CP}\ (1)`
`ΔCIH ~ ΔCPB` (g-g)
`⇒ \hat{IH}{PB}=\hat{CI}{CP}=\hat{CH}{BC}`
`⇒ IH=\frac{CI.PB}{CP}\ (2)`
Lại có: `AI //// QC⇒\frac{CI}{IP}=\frac{QA}{AP}`
`⇒ CI.AP=QA.IP`
mà `AP=PB,AQ=CQ`
`⇒ CI.PB=IP.QC\ (3)`
Từ `(1),(2),(3)⇒AI=IH`
`⇒ PC` đi qua trung điểm `AH`
c) H di động trên BC
`S_{ΔABC}=\frac{1}{2}.AB.AC`
Ta có: `S_{ΔABH} \le S_{ΔABC}=1/2. AB. AC \le \frac{1}{2}.\frac{AB^2+AC^2}{2}=\frac{BC^2}{4}=\frac{4a^2}{4}=a^2`
`S_{max}=a^2`
Dấu `=` xảy ra khi \(\begin{cases} AB=AC\\ H\ trùng\ B\ hoặc\ C\end{cases}\)
Vậy `H` trùng `B` hoặc `C` thì `S_{ABH}=a^2` lớn nhất
