Đáp án:
\(S =\{2\}\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
\quad \left(\sqrt{5 - 2\sqrt6}\right)^x+\left(\sqrt{5 - 2\sqrt6}\right)^x = 10^{\tfrac x2}\\
\Leftrightarrow \left(5 - 2\sqrt6\right)^{\tfrac{x}{2}}+\left(5 + 2\sqrt6\right)^{\tfrac{x}{2}} = 10^{\tfrac x2}\\
\Leftrightarrow \left(\dfrac{5 - 2\sqrt6}{10}\right)^{\tfrac x2} + \left(\dfrac{5 + 2\sqrt6}{10}\right)^{\tfrac x2} = 1\qquad (*)\\
\text{Xét}\ f(x) = \left(\dfrac{5 - 2\sqrt6}{10}\right)^{\tfrac x2} + \left(\dfrac{5 + 2\sqrt6}{10}\right)^{\tfrac x2}\\
\Rightarrow f'(x) = \left(\dfrac{5 - 2\sqrt6}{10}\right)^{\tfrac x2}.\ln\left(\dfrac{5 - 2\sqrt6}{10}\right) + \left(\dfrac{5 + 2\sqrt6}{10}\right)^{\tfrac x2}.\ln\left(\dfrac{5 + 2\sqrt6}{10}\right)<0\\
\Rightarrow \text{Hàm số nghịch biến}\\
\Rightarrow (*)\ \text{có nghiệm duy nhất}\\
\text{Nhận thấy $x = 2$ là một nghiệm của $(*)$}\\
\text{Do đó $x=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho}\\
\text{Vậy}\ S = \{2\}
\end{array}\)
