a) $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ nhận $AB$ làm đường kính
⇒ $\Delta ABC$ vuông tại C (Đ/lí)
⇒ $\widehat{ACB} = 90^o$
b) Đtròn $(O)$ có: $CD$ là dây, $AB$ là đường kính (gt)
$AB ⊥ CD$ tại $H$
⇒ $H$ là trung điểm của $CD$ (quan hệ đường kính và dây)
Tứ giác $ACED$ có hai đường chéo $AE$ và $CD$ cắt nhau tại trung điểm $H$ mỗi đoạn
⇒ Tứ giác $ACED$ là hình bình hành (dhnb)
Hình bình hành $ACED$ có $AB ⊥ CD$ tại $H$
⇒ Hbh $ACED$ là hình thoi (dhnb)
c) Gọi $M$ là trung điểm của EB
Vì tứ giác $ACED$ là hình thoi (cmt)
⇒ $AC // DE$
mà $AC ⊥ CB$ (Vì $\Delta ACB$ vuông tại $C$)
⇒ $DE ⊥ CB$ tại $I$ (quan hệ ⊥ và //)
⇒ $\Delta EIB$ vuông tại $I$
Mà $M$ là trung điểm của $EB$
⇒ $\Delta EIB$ nội tiếp đường tròn (M) (Định lí)
⇒ $I ∈ (M)^{(*)}$
Ta có: $AB ⊥ CD$ tại $H$
⇒ $\Delta DHE$ vuông tại $H$
⇒ $\widehat{HDE} + \widehat{HED} = 90^{o(1)}$
$\Delta CDI$ vuông tại I (do $DI ⊥ CB$) có $H$ là trung điểm của $CD$
⇒ $HI = HC = HD = \dfrac{CD}{2}$
⇒ $\Delta HID$ cân tại $H$ (đ/n)
⇒ $\widehat{HDE} = \widehat {HIE}^{(2)}$
Mặt khác $MI = ME (=bk)$
⇒ $\Delta IEM$ cân tại $M$
⇒ $\widehat{IEM} = \widehat{EIM}$
Mà $\widehat{IEM} = \widehat{HED}$ (hai góc đối đỉnh)
⇒ $\widehat{EIM} = \widehat{HED}^{(3)}$
Từ (1); (2); (3) ⇒ $\widehat{HIE} + \widehat{EIM} = 90^o$
hay $\widehat{HIM} = 90^o$
⇒ $HI ⊥ IM $ tại $I ^{(**)}$
Từ (*) và (**) ⇒ $HI$ là tiếp tuyến đường tròn đường kính $EB$ (dhnb)
