${{x}^{2}}-x+m-2=0$

$\Delta ={{\left( -1 \right)}^{2}}-4.1.\left( m-2 \right)=1-4m+8=-4m+9$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:

$\,\,\,\,\,\,\Delta >0$

$\to -4m+9>0$

$\to -4m>-9$

$\to m<\dfrac{9}{4}$

Theo hệ thức Vi – et, ta có:

$\begin{cases}x_1+x_2=1\\\\x_1.x_2=m-2\end{cases}$

$b)\,\,\,{{x}_{1}}+{{x}_{2}}\,\,\le \,\,7{{x}_{1}}{{x}_{2}}-3$

$\to 1\,\,\le \,\,7.\left( m-2 \right)-3$

$\to 1\,\,\le \,\,7m\,-\,14\,-3$

$\to 18\,\,\le \,\,7m$

$\to m\,\,\ge \,\,\dfrac{18}{7}$ ( loại )

Vậy không có giá trị $m$ thỏa yêu cầu bài toán

$c)\,\,\,5\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2} \right)\ge 7{{x}_{1}}{{x}_{2}}-6$

$\to 5\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]\ge 7{{x}_{1}}{{x}_{2}}-6$

$\to 5\left[ {{1}^{2}}-2\left( m-2 \right) \right]\,\,\ge \,\,7\left( m-2 \right)-6$

$\to 5\left( -2m+5 \right)\,\,\ge \,\,7\left( m-2 \right)-6$

$\to -10m\,+\,25\,\,\ge \,\,7m\,-\,14\,-6$

$\to -17m\,\,\ge \,\,-45$

$\to m\le \dfrac{45}{17}$

Kết hợp với điều kiện ban đầu, ta được $m<\dfrac{9}{4}$

Vậy $m<\dfrac{9}{4}$ thỏa yêu cầu bài toán

$d)\,\,\,{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\,\,\le \,\,13$

$\to {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\,\,\le \,\,13$

$\to {{1}^{2}}\,-\,2\left( m-2 \right)\,+\,4.1\,\,\le \,\,13$

$\to -2m\,+9\,\,\le \,\,13$

$\to -2m\,\,\le \,\,4$

$\to m\,\,\ge \,\,-2$

Kết hợp với điều kiện ban đầu, ta được $-2\le m\le \dfrac{9}{4}$

Vậy $-2\le m\le \dfrac{9}{4}$ thỏa yêu cầu bài toán

$e)\,\,\,\dfrac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}=3$

$\to \dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=3$

$\to {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3{{x}_{1}}{{x}_{2}}$

$\to 1=3\left( m-2 \right)$

$\to 1=3m-6$

$\to 3m=7$

$\to m=\dfrac{7}{3}$ ( nhận )

Vậy $m=\dfrac{7}{3}$ là giá trị cần tìm

$f)\,\,\,\dfrac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}=\dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2015}$

$\to \dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2015}$

$\to {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2015$ ( vì ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1\ne 0$ )

$\to m-2=2015$

$\to m=2017$ ( loại )

Vậy không có giá trị $m$ thỏa yêu cầu bài toán