Đáp án:
$m \in \left[ {0; + \infty } \right) \cup \left( { - \infty ; - 1} \right]$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\begin{array}{l}
m\sin x + \left( {m + 1} \right)\cos x = 1\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {{m^2} + {{\left( {m + 1} \right)}^2}} }}\left[ {m\sin x + \left( {m + 1} \right)\cos x} \right] = \dfrac{1}{{\sqrt {{m^2} + {{\left( {m + 1} \right)}^2}} }}\\
\Leftrightarrow \dfrac{m}{{\sqrt {{m^2} + {{\left( {m + 1} \right)}^2}} }}\sin x + \dfrac{{m + 1}}{{\sqrt {{m^2} + {{\left( {m + 1} \right)}^2}} }}\cos x = \dfrac{1}{{\sqrt {{m^2} + {{\left( {m + 1} \right)}^2}} }}\\
\Leftrightarrow \cos \left( {x - \alpha } \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {{m^2} + {{\left( {m + 1} \right)}^2}} }}\left( 1 \right)
\end{array}$
Với $\alpha $ thỏa mãn $\cos \alpha = \dfrac{{m + 1}}{{\sqrt {{m^2} + {{\left( {m + 1} \right)}^2}} }};\sin \alpha = \dfrac{m}{{\sqrt {{m^2} + {{\left( {m + 1} \right)}^2}} }}$
Để phương trình (1) có nghiệm
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left| {\dfrac{1}{{\sqrt {{m^2} + {{\left( {m + 1} \right)}^2}} }}} \right| \le 1\\
\Leftrightarrow 1 \le {m^2} + {\left( {m + 1} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 2{m^2} + 2m \ge 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m \ge 0\\
m \le - 1
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy $m \in \left[ {0; + \infty } \right) \cup \left( { - \infty ; - 1} \right]$ thỏa mãn đề.
