Đáp án:
$Q_{\min} = 4$
Giải thích các bước giải:
Đặt $z = x + yi\ \ (x,\ y \in\Bbb R)$
$\Rightarrow \overline{z} = x - yi$
$\Rightarrow M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức $z$ trên mặt phẳng phức
Ta có:
$\quad |z+1| = |\overline{z} + 2 + i|$
$\Leftrightarrow |(x+1) + bi| = |(x + 2) + (1 - y)i|$
$\Rightarrow (x+1)^2 + b^2 = (x+2)^2 + (1-y)^2$
$\Leftrightarrow x - y + 2 =0$
$\Rightarrow M \in d: x - y+ 2 =0$
$\Rightarrow M(x;x+2)$
Xét $Q = |(i-1)z + (4-2i)|$
$\Leftrightarrow Q = |i-1|\left|z + \dfrac{4-2i}{i-1}\right|$
$\Leftrightarrow Q = \sqrt2\cdot |z - (3+i)|$
$\Leftrightarrow Q = \sqrt2 MA$ với $A(3;1)$
Khi đó:
$Q_{\min} \Leftrightarrow MA_{\min} \Leftrightarrow M$ là hình chiếu của $A$ lên $d$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{n_d} = 0$
$\Leftrightarrow 1.(3-x) + (-1).(1 - x +2) = 0$
$\Leftrightarrow x = 1$
$\Rightarrow MA = 2\sqrt2$
$\Rightarrow Q = \sqrt2.2\sqrt2 = 4$
