Đáp án:
$1)\quad A.\ \dfrac{4\pi a^3}{3}$
$2)\quad D.\ a = \dfrac{2\sqrt3 R}{3}$
$3)\quad B.\ 8\pi a^2$
$4)\quad D.\ R\sqrt3$
$5)\quad B.\ R\sqrt3$
$6)\quad C.\ 1\ cm$
$7)\quad D.\ \dfrac{8\pi a^3\sqrt6}{27}$
$8)\quad C.\ R =\dfrac{13a}{2}$
Giải thích các bước giải:
Câu 1:
Ta có: $V = \dfrac43\pi R^3$
Với $R = a$ ta được:
$V = \dfrac{4\pi a^3}{3}$
Câu 2:
Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh $a$
Khi đó đường chéo chính của hình lập phương chính là đường kính của mặt cầu.
Ta có:
$\quad (2R)^2 = a^2 + a^2 + a^2$
$\Leftrightarrow 4R^2 = 3a^2$
$\Leftrightarrow a^2 = \dfrac{4R^2}{3}$
$\Rightarrow a = \dfrac{2\sqrt3 R}{3}$
Câu 3:
Ta có:
$\begin{cases}SA\perp BC\quad (SA\perp (ABCD))\\AB\perp BC\quad (gt)\end{cases}$
$\Rightarrow BC\perp (SAB)$
$\Rightarrow BC\perp SB$
$\Rightarrow \triangle SBC$ vuông tại $B$
Gọi $I$ là trung điểm $SC$
$\Rightarrow IS = IB = IC$
Tương tự ta có:
$\triangle SCD$ vuông tại $D\Rightarrow IS = ID = IC$
$\triangle SAC$ vuông tại $A\Rightarrow IS = IA = IC$
$\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính $R = IS = IC =\dfrac12SC$
Áp dụng định lý Pytago ta được:
$\quad SC^2 = SA^2 + AC^2$
$\Rightarrow SC =\sqrt{6a^2 + 2a^2}= 2\sqrt2a$
$\Rightarrow R = a\sqrt2$
Diện tích mặt cầu:
$S = 4\pi R^2 = 4\pi \left(a\sqrt2\right)^2= 8\pi a^2$
Câu 4:
Ta có $AB$ là tiếp tuyến của $(S)$ tại $B$
$\Rightarrow OB\perp AB$
Áp dụng định lý Pytago ta được:
$\quad OA^2 = OB^2 + AB^2$
$\Rightarrow AB=\sqrt{OA^2 - OB^2}=\sqrt{4R^2 - R^2}$
$\Rightarrow AB = R\sqrt3$
Câu 5:
Thiết diện tạo bởi $(\alpha)$ và mặt cầu $(S)$ là đường tròn.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $(\alpha)$ và $r$ là bán kính thiết diện.
$\Rightarrow OH = d(O;(\alpha))= \dfrac{R}{2}$
Ta có:
$\quad OH\perp (\alpha)$
Áp dụng định lý Pytago ta được:
$\quad R^2 = OH^2 + r^2$
$\Rightarrow r =\sqrt{R^2 - OH^2}=\sqrt{R^2 - \dfrac{R^2}{4}}$
$\Rightarrow r = \dfrac{R\sqrt3}{2}$
$\Rightarrow d = 2r = R\sqrt3$
Câu 6:
Tương tự câu 5, ta có:
$r =\sqrt{R^2 - d^2(I;(\alpha))}=\sqrt{2,6^2 - 2,4^2}$
$\Rightarrow r = 1\ cm$
Câu 7:
Gọi $O$ là tâm của đáy
$\Rightarrow OA = OB = OC = OD = \dfrac{a\sqrt2}{2}$
$\Rightarrow SO\perp (ABCD)$ (hình chóp đều
$\Rightarrow\widehat{(SA;(ABCD))}=\widehat{SAO}= 60^\circ$
$\Rightarrow\begin{cases}SO = OA.\tan60^\circ = \dfrac{a\sqrt6}{2}\\SA =\dfrac{OA}{\cos60^\circ}= a\sqrt2\end{cases}$
Gọi $M$ là trung điểm $SA$
$\Rightarrow SM = MA =\dfrac{a\sqrt2}{2}$
Trong $mp(SAO)$, trung trực của $SA$ cắt $SO$ tại $I$
$\Rightarrow IA = IS$
mà $SO$ là trục của đáy (hình chopa đều)
nên $IA = IB = IC = ID$
Do đó $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp
Xét $\triangle SMI$ và $\triangle SOA$ có:
$\begin{cases}\widehat{S}:\ \text{góc chung}\\\widehat{M}=\widehat{O}= 90^\circ\end{cases}$
Do đó $\triangle SMI\backsim \triangle SOA\ (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{IS}{SA}=\dfrac{SM}{SO}$
$\Rightarrow R = IS = \dfrac{SM.SA}{SO}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt2}{2}\cdot a\sqrt2}{\dfrac{a\sqrt6}{2}}$
$\Rightarrow R = \dfrac{a\sqrt6}{3}$
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac43\pi\left(\dfrac{a\sqrt6}{3}\right)^3 = \dfrac{8\pi a^3\sqrt6}{27}$
Câu 8:
Tương tự câu 3, ta có:
Tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm $SC$
Ta được: $R = \dfrac12SC$
Áp dụng định lý Pytago ta được:
$\quad SC^2 = SA^2 + AC^2$
$\Leftrightarrow SC^2 = SA^2 + AB^2 + BC^2$
$\Leftrightarrow SC^2 = 144a^2 + 9a^2 + 16a^2= 169a^2$
$\Rightarrow SC = 13a$
$\Rightarrow R =\dfrac{13a}{2}$
