Giải thích các bước giải:
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức:
Cho $x,y $ dương chứng minh rằng $\dfrac{1}{x}+\dfrac1y\ge \dfrac4{x+y}$
Thật vậy ta có:
$(x-y)^2\ge 0$
$\to x^2-2xy+y^2\ge 0$
$\to x^2+y^2\ge 2xy$
$\to x^2+2xy+y^2\ge 4xy$
$\to (x+y)^2\ge 4xy$
$\to \dfrac{4}{x+y}\le \dfrac{x+y}{xy}$
$\to \dfrac{4}{x+y}\le\dfrac1x+\dfrac1y$
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
$4(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a})$
$=a\cdot \dfrac{4}{a+b}+b\cdot \dfrac{4}{b+c}+c\cdot\dfrac{4}{c+a}$
$\le a\cdot (\dfrac1a+\dfrac1b)+b\cdot (\dfrac1b+\dfrac1c)+c\cdot(\dfrac1c+\dfrac1a)$
$=(1+\dfrac ab)+(1+\dfrac bc)+(1+\dfrac ca)$
$=\dfrac ab+\dfrac bc+\dfrac ca+3$
$\to đpcm$
