$\text{a, Ta có: Δ MNP vuông tại M, đường cao MQ}$
$\Rightarrow$ $MN^{2}$ $\textit{= NQ . NP }$$\text{(theo hệ thức lượng trong Δ vuông)}$$\\$$\textit{MN =}$$\text{ 2 . 5 = 10}$$\\$ $\Rightarrow$ $\textit{MN = }$$\sqrt{10}$$\\$$\Rightarrow$ $MP^{2}$ = $\textit{QP . NP}$ $\text{(theo hệ thức lượng trong Δ vuông)}$$\\$ $\textit{MP = }$$\text{3 . 5 = 15}$$\\$$\Rightarrow$ $\textit{MP = }$$\sqrt{15}$$\\$$\Longrightarrow$ $\text{MN . MP = MQ . NP}$$\\$$\Leftrightarrow$ $\sqrt{10}$ . $\sqrt{5}$ = $\text{MQ . 5}$$\\$$\Leftrightarrow$ $\text{MQ = }$$\sqrt{6}$
$\text{b, Ta có: Δ MNP vuông tại M}$$\\$$\Rightarrow$ $\widehat{MNP}$ = $\sin\dfrac{MP}{NP}$$\\$$\widehat{MNP}$ = $\sin\dfrac{\sqrt{15}}{5}$ = $51^\circ$$\\$$\text{Lại có: Δ MNI vuông tại M}$$\\$$\Rightarrow$ $\widehat{MIN}$ = $\tan\dfrac{MN}{MI}$ = $\tan\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{15} - 2}$ $\approx$ $59^\circ$$\\$ $\Rightarrow$ $\widehat{MNI}$ = $180^\circ$ - $59^\circ$ - $90^\circ$ = $31^\circ$ $\text{(định lí tổng 3 góc trong 1 Δ)}$$\\$$\Rightarrow$ $\widehat{INP}$ = $51^\circ$ - $31^\circ$ = $20^\circ$$\\$$\text{Vậy }$$\widehat{MIN}$ $\approx$ $59^\circ$; $\widehat{INP}$ = $20^\circ$
$\text{- Lê Đức Anh -}$
