`a)` Vì $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $∆ABC$
`=>AI;BI;CI` lần lượt là phân giác `\hat{A};hat{B};\hat{C}`
Mà $AI\perp MN$
`=>AI` vừa là phân giác và đường cao $∆AMN$
`=>∆AMN` cân tại $A$
$\\$
Xét $∆AMI$ vuông tại $I$
`=>\hat{AMI}+\hat{MAI}=90°` (hai góc phụ nhau)
`=>\hat{AMI}+\hat{A}/2=90°`
`=>\hat{AMI}=90°-\hat{A}/2={180°-\hat{A}}/2`
`={\hat{B}+\hat{C}}/2=\hat{B}/2+\hat{C}/2` $(1)$
$\\$
`\qquad \hat{AMI}` là góc ngoài $∆BMI$
`=>\hat{AMI}=\hat{IBM}+\hat{MIB}=\hat{B}/2+\hat{MIB}` $(2)$
Từ `(1);(2)=>\hat{C}/2=\hat{MIB}`
$\\$
Xét $∆ICB$ và $∆MIB$ có:
`\qquad \hat{ICB}=\hat{MIB}=\hat{C}/2`
`\qquad \hat{ICB}=\hat{MBI}=\hat{B}/2`
`=>∆ICB∽∆MIB` (g-g)
`=>{BI}/{BM}={BC}/{BI}`
`=>BI^2=BM.BC` $(3)$
$\\$
Ta có: $∆AMN$ cân tại $A$
`\hat{ANI}=\hat{AMI}=\hat{B}/2+\hat{C}/2`
Mà `\hat{ANI}=\hat{NIC}+\hat{C}/2` (góc ngoài $∆NIC$)
`=>\hat{B}/2=\hat{NIC}`
$\\$
Xét $∆ICB$ và $∆NCI$ có:
`\qquad \hat{ICB}=\hat{NCI}=\hat{C}/2`
`\qquad \hat{IBC}=\hat{NIC}=\hat{B}/2`
`=>∆ICB∽∆NCI` (g-g)
`=>{CI}/{CN}={CB}/{CI}`
`=>CI^2=CN.BC` $(4)$
Từ `(3);(4)=>{BI^2}/{CI^2}={BM.BC}/{CN.BC}={BM}/{CN}`
Vậy `{BM}/{CN}={BI^2}/{CI^2}` (đpcm)
$\\$
`b)` Vì $∆AMN$ cân tại $A$
`=>AI` vừa là đường cao và trung tuyến
`=>I` là trung điểm $MN$
`=>IM=IN`
$\\$
Vì `∆ICB∽MIB` và `∆ICB∽NCI` (câu a)
`=>∆MIB∽∆NCI`
`=>{IM}/{CN}={BM}/{IN}`
`=>BM.CN=IM.IN`
`=>BM.CN=IM^2` (vì `IM=IN)`
$\\$
Ta có: $∆AMI$ vuông tại $I$
`=>AI^2+IM^2=AM^2` (định lý Pytago)
`=>AM^2-IM^2=AI^2`
$\\$
`\qquad AB.AC=(AM+BM).AC`
`=AM.AC+BM.AC`
`=AM.(AN+CN)+BM.AC`
`=AM.AM+AM.CN+BM.AC`
`\qquad ` (vì `AM=AN)`
`=(AM^2-IM^2)+IM^2+(AB-BM).CN+BM.AC`
`=AI^2+IM^2+AB.CN-BM.CN+BM.AC`
`=AI^2+IM^2+AB.CN-IM^2+BM.AC` (vì `BM.CN=IM^2`)
`=BM.AC+CN.AB+AI^2`
Vậy `BM.AC+CN.AB+AI^2=AB.AC` (đpcm)
