Giải thích các bước giải:
a,
Để hệ phương trình đã cho vô nghiệm thì:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{m + 1}} = \frac{{ - 1}}{m} \ne \frac{1}{{m + 2}}\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = - m - 1\\
- m - 2 \ne m\\
m + 2 \ne m + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = - \frac{1}{2}\\
m \ne - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}
\end{array}\)
b,
Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:
\(\frac{1}{{m + 1}} \ne \frac{{ - 1}}{m} \Leftrightarrow m \ne - \frac{1}{2}\)
Với \(m = 0\) thì hệ phương trình đã cho trở thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 1\\
x = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 1
\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 5\)
Với \(\left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
m \ne - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\), ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 1\\
\left( {m + 1} \right)x + my = m + 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
mx - my = m\\
\left( {m + 1} \right)x + my = m + 2
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left( {mx - my} \right) + \left[ {\left( {m + 1} \right)x + my} \right] = m + m + 2\\
\Leftrightarrow \left( {2m + 1} \right)x = 2m + 2\\
\Leftrightarrow x = \frac{{2m + 2}}{{2m + 1}}\\
y = x - 1 = \frac{{2m + 2}}{{2m + 1}} - 1 = \frac{1}{{2m + 1}}\\
\Rightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {\frac{{2m + 2}}{{2m + 1}}} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {2m + 1} \right)}^2}}}\\
= {\left( {1 + \frac{1}{{2m + 1}}} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {2m + 1} \right)}^2}}}\\
= 1 + \frac{2}{{2m + 1}} + \frac{2}{{{{\left( {2m + 1} \right)}^2}}}\\
= 2.\left[ {\frac{1}{{{{\left( {2m + 1} \right)}^2}}} + 2.\frac{1}{{\left( {2m + 1} \right)}}.\frac{1}{2} + \frac{1}{4}} \right] + \frac{1}{2}\\
= 2.{\left( {\frac{1}{{2m + 1}} + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2}\\
\Rightarrow {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)_{\min }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{{2m + 1}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow m = - \frac{3}{2}
\end{array}\)
