a) Ta có: $D$ là trung điểm cạnh huyền $BC$

$\Rightarrow DA = DB = DC =\dfrac12BC$

Xét $\triangle ADM$ và $\triangle BDM$ có:

$\begin{cases}\widehat{A}=\widehat{B}= 90^\circ\\DA = DB \quad (cmt)\\DM:\ \text{cạnh chung}\end{cases}$

Do đó $\triangle ADM=\triangle BDM$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow AM = BM$ (hai cạnh tương ứng

Lại có: $DA = DB$

Nên $MD$ là đường trung trực của $AB$

Xét $\triangle ADN$ và $\triangle CDN$ có:

$\begin{cases}\widehat{A}=\widehat{C}= 90^\circ\\DA = DC \quad (cmt)\\DN:\ \text{cạnh chung}\end{cases}$

Do đó $\triangle ADN=\triangle CDN$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow AN = CN$ (hai cạnh tương ứng)

Lại có: $DA = DC$

Nên $DN$ là đường trung trực của $AC$

b) Ta có:

$MB = MA$ (câu b)

$NC = NA$ (câu b)

$\Rightarrow MB + NC = MA + NA = MN$

Mặt khác:

$DM$ là trung trực của $AB$ (câu a)

$\Rightarrow \widehat{ADM}=\dfrac12\widehat{ADB}$

$DN$ là trung trực của $AC$ (câu a)

$\Rightarrow \widehat{ADN}=\dfrac12\widehat{ADC}$

Do đó:

$\widehat{MDN}=\widehat{ADM} +\widehat{ADN}$

$\qquad =\dfrac12\widehat{ADB} +\dfrac12\widehat{ADC}$

$\qquad =\dfrac12(\widehat{ADB} +\widehat{ADC})$

$\qquad =\dfrac12\widehat{BDC}$

$\qquad =\dfrac12\cdot 180^\circ = 90^\circ$

c) Ta có: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}= 5$

$\Rightarrow DA = DB = DC =\dfrac52$

Gọi $I,K$ là trung điểm $AB,AC$

$\Rightarrow \widehat{I}=\widehat{K}= 90^\circ$

Áp dụng hệ thức lượng, ta được:

$\dfrac{1}{AI^2}=\dfrac{1}{AM^2} +\dfrac{1}{AD^2}$

$\Rightarrow AM=\dfrac{AI.AD}{\sqrt{AD^2 -AI^2}}$

$\Rightarrow AM =\dfrac{\dfrac32\cdot \dfrac52}{\sqrt{\dfrac{25}{4} -\dfrac{9}{4}}}$

$\Rightarrow AM = \dfrac{15}{8}$

$\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{AN^2} +\dfrac{1}{AD^2}$

$\Rightarrow AN=\dfrac{AK.AD}{\sqrt{AD^2 -AK^2}}$

$\Rightarrow AN =\dfrac{2\cdot \dfrac52}{\sqrt{\dfrac{25}{4} -4}}$

$\Rightarrow AN = \dfrac{10}{3}$

Ta được:

$MN = AM + AN = \dfrac{15}{8} + \dfrac{10}{3}=\dfrac{125}{24}$