Đáp án:
$\\$
`a,`
Xét `ΔAHB` và `ΔAHC` có :
`AH` chung
`hat{BAH}=hat{CAH}` (gt)
`AB=AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)
`-> ΔAHB=ΔAHC` (cạnh - góc - cạnh)
`-> HB=HC` (2 cạnh tương ứng)
và `hat{AHB}=hat{AHC}` (2 góc tương ứng)
mà `hat{AHB} + hat{AHC}=180^o` (2 góc kề bù)
`-> hat{AHB}=hat{AHC}=180^o/2=90^o`
`-> AH⊥BC`
$\\$
`b,`
Có : `HB=HC` (cmt)
`-> H` là trung điểm của `BC`
`-> BH = 1/2 BC`
`-> BH = 1/2 . 36`
`-> BH = 18cm`
Áp dụng đính lí Pitago cho `ΔAHB` vuông tại `H` có :
`AH^2 + BH^2 = AB^2`
`-> AH^2 = AB^2 - BH^2`
`-> AH^2 =30^2 - 18^2`
`-> AH^2=24^2`
`-> AH=24cm`
$\\$
`c,`
Có : `H` là trung điểm của `BC` (cmt)
`-> AH` là đường trung tuyến của `ΔABC`
Xét `ΔABC` có :
`AH` là đường trung tuyến (cmt)
`BM` là đường trung tuyến (gt)
`AH` cắt `BM` tại `G`
`-> G` là trọng tâm của `ΔABC`
`-> AG = 2/3 AH`
`-> AG = 2/3 . 24`
`-> AG=16cm`
Do `G` là trọng tâm của `ΔABC` (cmt)
`-> HG = 1/3 AH = 1/3 . 24 = 8cm`
Áp dụng định lí Pitago cho `ΔBGH` vuông tại `H` có :
`HG^2 + BH^2 = BG^2`
`-> BG^2 = 8^2 + 18^2`
`-> BG^2 = 388`
`-> BG = 2 \sqrt{97}cm`
Do `G` là trọng tâm của `ΔABC` (cmt)
`-> BG = 2/3 BM`
`-> 2 \sqrt{97} = 2/3 BM`
`-> BM=3\sqrt{97}cm`
$\\$
`d,`
Do $HD//AC$ (gt)
`-> hat{DHB}=hat{C}` (2 góc đồng vị)
mà `hat{B}=hat{C}` (Do `ΔABC` cân tại `A`)
`-> hat{DHB}=hat{B} (=hat{C})`
`-> ΔDHB` cân tại `D`
`-> BD =HD` `(1)`
Do `ΔAHB=ΔAHC` (cmt)
`-> hat{BAH}=hat{CAH}` (2 góc tương ứng)
hay `hat{DAH}=hat{CAH}`
Do $HD//AC$ (gt)
`-> hat{DHA}=hat{CAH}` (2 góc so le trong)
mà `hat{DAH}=hat{CAH}` (cmt)
`-> hat{DHA}=hat{DAH} (=hat{CAH})`
`-> ΔADH` cân tại `D`
`-> AD=HD` `(2)`
Từ `(1), (2)`
`-> AD=BD (=HD)`
`-> D` là trung điểm của `AB`
`-> CD` là đường trung tuyến của `ΔABC`
mà `G` là trọng tâm của `ΔABC` (cmt)
`-> CD` đi qua `G`
`-> C,G,D` thẳng hàng
