Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0,\,\,\,\forall a,b > 0\\
\Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0,\,\,\,\forall a,b > 0\\
\Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} ,\,\,\,\forall a,b > 0
\end{array}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi a=b
Áp dụng bất đẳng thức trên cho các số dương ta có:
\(\begin{array}{l}
b,\\
N = x - 2 + \dfrac{4}{{x - 2}} = \left( {x - 2} \right) + \dfrac{4}{{x - 2}} \ge 2\sqrt {\left( {x - 2} \right).\dfrac{4}{{x - 2}}} = 4\\
\Rightarrow {N_{\min }} = 4 \Leftrightarrow x - 2 = \dfrac{4}{{x - 2}} \Leftrightarrow x = 4\,\,\,\,\,\,\left( {x > 2} \right)\\
c,\\
K = \dfrac{{{x^2}}}{{x - 3}} = \dfrac{{\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + \left( {6x - 18} \right) + 9}}{{x - 3}}\\
= \dfrac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2} + 6.\left( {x - 3} \right) + 9}}{{x - 3}}\\
= \left( {x - 3} \right) + 6 + \dfrac{9}{{x - 3}}\\
= \left[ {\left( {x - 3} \right) + \dfrac{9}{{x - 3}}} \right] + 6\\
\ge 2\sqrt {\left( {x - 3} \right).\dfrac{9}{{x - 3}}} + 6 = 12\\
\Rightarrow {K_{\min }} = 12 \Leftrightarrow x - 3 = \dfrac{9}{{x - 3}} \Leftrightarrow x = 6\,\,\,\,\,\,\,\left( {x > 3} \right)\\
d,\\
P = \dfrac{{{x^2} - 3x + 3}}{{x - 1}} = \dfrac{{\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right) + 1}}{{x - 1}}\\
= \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - \left( {x - 1} \right) + 1}}{{x - 1}} = \left( {x - 1} \right) - 1 + \dfrac{1}{{x - 1}}\\
= \left[ {\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right] - 1\\
\ge 2\sqrt {\left( {x - 1} \right).\dfrac{1}{{x - 1}}} - 1 = 1\\
\Rightarrow {P_{\min }} = 1 \Leftrightarrow x - 1 = \dfrac{1}{{x - 1}} \Leftrightarrow x = 2\,\,\,\,\left( {x > 1} \right)
\end{array}\)
