Đáp án:$x = 3$
Giải thích các bước giải: Dùng phương pháp đánh giá 2 vế:
Điều kiện $ x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ - 1$
$ \sqrt[3]{x - 2} + \sqrt[]{x + 1} = 3 (1)$
Nhận thấy $ x = 3$ thỏa $(1)$ nên là nghiệm của $(1)$
- Xét $ x < 3 ⇒ x - 2 < 1 ⇒ \sqrt[3]{x - 2} < 1; x + 1 < 4 ⇒ \sqrt[]{x + 1} < 2$
$ ⇒ VT = \sqrt[3]{x - 2} + \sqrt[]{x + 1} < 3$ (không thỏa $(1)$)
- Xét $ x > 3 ⇒ x - 2 > 1 ⇒ \sqrt[3]{x - 2} > 1; x + 1 > 4 ⇒ \sqrt[]{x + 1} > 2$
$ ⇒ VT = \sqrt[3]{x - 2} + \sqrt[]{x + 1} > 3$ (không thỏa $(1)$)
Vậy $x = 3$ là nghiệm duy nhất của $(1)$
Cách khác: Nhân lượng liên hợp
Điều kiện $ x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ - 1$
$ \sqrt[3]{x - 2} + \sqrt[]{x + 1} = 3 (1)$
$⇔\sqrt[3]{x - 2} - 1+ \sqrt[]{x + 1} - 2 = 0$
$⇔\frac{(\sqrt[3]{x - 2})³ - 1}{(\sqrt[3]{x - 2})² + \sqrt[3]{x - 2} + 1} + \frac{(\sqrt[]{x + 1})² - 4}{\sqrt[]{x + 1} + 2} = 0$
$⇔(x - 3)(\frac{1}{(\sqrt[3]{x - 2})² + \sqrt[3]{x - 2} + 1} + \frac{1}{\sqrt[]{x + 1} + 2}) = 0$
$⇔x - 3 = 0$ ( Vì $\frac{1}{(\sqrt[3]{x - 2})² + \sqrt[3]{x - 2} + 1} + \frac{1}{\sqrt[]{x + 1} + 2} > 0)$
$⇔ x = 3$
