Bài `2`:
`25 - y^2 = 8(x - 2009)^2`
`<=> 25 - 8(x - 2009)^2 = y^2`
Với mọi `x, y`, ta có:
`8(x - 2009)^2 >= 0`
`<=> - 8(x - 2009)^2 <= 0`
`<=> 25 - 8(x - 2009)^2 <= 25`
`<=> y^2 <= 25` mà `y^2` là số chính phương
`=> y^2 in {0; 1; 2; 4; 9; 16; 25}(**)`
Vì `25` là số lẻ, `8(x - 2009)^2` là số chẵn
`<=> 25 - 8(x - 2009)^2` là số lẻ
`<=> y^2` là số lẻ `(***)`
Từ `(**)` và `(***) => y^2 in {1; 9; 25}`
`ĐK: x, y in NN`
`+) y^2 = 1 `
`<=>` \(\left\{\begin{matrix}y = \pm 1\\25 - 1 = 8(x - 2009)^2\end{matrix}\right.\)
`<=>` \(\left\{\begin{matrix}y = \pm 1\\x = \sqrt{3} + 2009\end{matrix}\right.\) (Không thỏa mãn, loại)
`+) y^2 = 9`
`<=>` \(\left\{\begin{matrix}y = \pm 3\\25 - 9 = 8(x - 2009)^2\end{matrix}\right.\)
`<=>` \(\left\{\begin{matrix}y = \pm 3\\x = \sqrt{2} + 2009\end{matrix}\right.\) (Không thỏa mãn, loại)
`+) y^2 = 25`
`<=>` \(\left\{\begin{matrix}y = \pm 5\\25 - 25 = 8(x - 2009)^2\end{matrix}\right.\)
`<=>` \(\left\{\begin{matrix}y = \pm 5\\x = 2009\end{matrix}\right.\) (Thỏa mãn, chọn)
Vậy `(x, y) in {(5; 2009), (-5; 2009)}`
Bài `3`:
`A = 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... + 1/n^2`
Ta có:
`1/2^2 = 1/(2. 2) < 1/(1. 2)`
`1/3^2 = 1/(3. 3) < 1/(2. 3)`
`1/4^2 = 1/(4. 4) < 1/(3. 4)`
`...`
`1/n^2 = 1/(n. n) < 1/((n - 1). n)`
`=> 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... + 1/n^2 < 1/(1. 2) + 1/(2. 3) + 1/(3. 4) + ... + 1/((n - 1). n)`
`=> A < 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/(n - 1) - 1/n`
`=> A < 1 - 1/n < 1`(Do `n >= 2`)
`=> A < 1`
Vậy `A < 1`
