Giải thích các bước giải:
Bài 1:
a.Ta có $AD$ là phân giác $\widehat{BAC}$
$\to\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac23$
$\to \dfrac{DB}{DB+DC}=\dfrac{2}{2+3}$
$\to\dfrac{DB}{BC}=\dfrac25$
$\to DB=\dfrac25BC=14$
$\to DC=BC-DB=21$
b.Ta có $DE//AB$
$\to \dfrac{DE}{AB}=\dfrac{CD}{CB}=\dfrac35$
$\to DE=\dfrac35AB=12$
Lại có $AD$ là phân giác góc $A$
$\to\widehat{EAD}=\widehat{DAB}=\widehat{ADE}$
$\to\Delta ADE$ cân tại $E$
$\to EA=ED=12$
Bài 2:
a.Ta có $BM$ là phân giác góc $B$
$\to \dfrac{MA}{MC}=\dfrac{BA}{BC}$
Tương tự $\dfrac{NA}{NB}=\dfrac{CA}{CB}$
Mà $\Delta ABC$ cân tại $A\to AB=AC\to \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC}{BC}$
$\to \dfrac{MA}{MC}=\dfrac{NA}{NB}$
$\to MN//BC$
b.Ta có:
$\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac56$
$\to\dfrac{MA}{MA+MC}=\dfrac5{5+6}$
$\to \dfrac{MA}{AC}=\dfrac5{11}$
$\to MA=\dfrac5{11}AC$
Mà $AC=AB=5$
$\to AM=\dfrac{25}{11}$
$\to MC=AC-AM=\dfrac{30}{11}$
Lại có $MN//BC\to \dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AC}=\dfrac5{11}$
$\to MN=\dfrac5{11}BC=\dfrac{30}{11}$
c.Kẻ $AH\perp BC$
Vì $\Delta ABC$ cân tại $A\to H$ là trung điểm $BC\to HB=HC=\dfrac12BC=3$
$\to AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=4$
$\to S_{ABC}=\dfrac12AH.BC=12$
Ta có $MN//BC\to \widehat{AMN}=\widehat{ACB},\widehat{ANM}=\widehat{ABC}$
$\to\Delta AMN\sim\Delta ACB(g.g)$
$\to \dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=(\dfrac{AM}{AC})^2=(\dfrac5{11})^2$
$\to S_{AMN}=\dfrac{300}{121}$
Bài 3:
a.Ta có $ME$ là phân giác $\widehat{AMB}$
$\to \dfrac{EA}{EB}=\dfrac{MA}{MB}$
Tương tự $\dfrac{FA}{FC}=\dfrac{MA}{MC}$
Mà $M$ là trung điểm $BC\to MB=MC$
$\to \dfrac{MA}{MB}=\dfrac{MA}{MC}$
$\to \dfrac{EA}{EB}=\dfrac{FA}{FC}$
$\to EF//BC$
b.Ta có $EF//BC$
$\to \dfrac{OE}{MB}=\dfrac{AO}{AM}=\dfrac{OF}{MC}$
$\to OE=OF$ vì $M$ là trung điểm $BC$
c.Vì $M$ là trung điểm $BC\to MB=MC=\dfrac12BC=15$
$\to \dfrac{EA}{EB}=\dfrac{MA}{MB}=\dfrac23$
$\to \dfrac{EA}{EA+EB}=\dfrac2{2+3}$
$\to \dfrac{EA}{AB}=\dfrac25$
Ta có: $EF//BC$
$\to \dfrac{EF}{BC}=\dfrac{EA}{AB}=\dfrac25$
$\to EF=\dfrac25BC=12$
