13.
ΔMAB cân tại M ⇒ ∠MAB = ∠MBA; MA = ∠MB
mà MC = MB ⇒ MC = MA
⇒ ΔMAC cân tại M ⇒ ∠MAC = ∠MCA
Vì ∠AMC là góc ngoài của ΔAMB
⇒ ∠AMC = ∠MAB + ∠MBA
Vì ∠AMB là góc ngoài của ΔAMC
⇒ ∠AMB = ∠MAC + ∠MCA
Ta có: ∠AMC + ∠AMB = $180^{o}$ (2 góc kề bù)
⇒ ∠MAB + ∠MBA + ∠MAC + ∠MCA = $180^{o}$
⇒ 2 . ∠MAB + 2 . ∠MAC = $180^{o}$
⇒ 2 . (∠MAB + ∠MAC) = $180^{o}$
⇒ ∠MAB + ∠MAC = $180^{o}$ : 2
⇒ ∠BAC = $90^{o}$
14.
ΔMIK vuông tại K
⇒ ∠KMI + ∠MIK = $90^{o}$ (trong Δvuông, 2 góc nhọn phụ nhau)
Có: ∠NMI + ∠IMP = ∠NMP = $90^{o}$
mà ∠KMI = ∠IMP (MI là tia phân giác của ∠PMK)
⇒ ∠MIK = ∠NMI hay ∠NIM = ∠NMI
⇒ ΔMIN cân tại N ⇒ NM = NI (đpcm)
15.
a. Xét ΔAMD và ΔAME có:
∠AMD = ∠AME = $90^{o}$
AM: cạnh chung
∠DAM = ∠EAM (Ax là tia phân giác của ∠A)
⇒ ΔAMD = ΔAME (g.c.g)
⇒ ∠ADM = ∠AEM (2 góc tương ứng)
⇒ ΔADE cân tại A
b. Ta có: BF // AC ⇒ ∠AEM = ∠BFD (2 góc đồng vị)
mà ∠ADM = ∠AEM ⇒ ∠ADM = ∠BFD
hay ∠BDF = ∠BFD ⇒ ΔBDF cân tại B
⇒ BD = BF (đpcm)
c. Ta có: BF // AC ⇒ ∠C = ∠FBM (2 góc so le trong)
Xét ΔBMF và ΔCME có:
∠FBM = ∠C (cmt)
BM = CM (M là trung điểm của BC)
∠BMF = ∠CME (2 góc đối đỉnh)
⇒ ΔBMF = ΔCME (g.c.g)
⇒ BF = CE (2 cạnh tương ứng)
mà BF = BD (theo b) ⇒ BD = CE (đpcm)
