Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Với $∀k ∈ N: \frac{1}{\sqrt[]{k} + \sqrt[]{k + 1}} > \frac{1}{\sqrt[]{k +1} + \sqrt[]{k + 2}} $

$ ⇔ \frac{2}{\sqrt[]{k} + \sqrt[]{k + 1}} > \frac{1}{\sqrt[]{k} + \sqrt[]{k + 1}} + \frac{1}{\sqrt[]{k + 1} + \sqrt[]{k + 2}}$

$ 2Q = \frac{2}{\sqrt[]{1} + \sqrt[]{2}} + \frac{2}{\sqrt[]{3} + \sqrt[]{4}} + \frac{2}{\sqrt[]{5} + \sqrt[]{6}} +...+ \frac{2}{\sqrt[]{99} + \sqrt[]{100}}$

$ > \frac{1}{\sqrt[]{1} + \sqrt[]{2}} + \frac{1}{\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}} + \frac{1}{\sqrt[]{3} + \sqrt[]{4}} + \frac{1}{\sqrt[]{4} + \sqrt[]{5 }}+...+ \frac{2}{\sqrt[]{99} + \sqrt[]{100}} + \frac{1}{\sqrt[]{100} + \sqrt[]{101}}$

$ = (\sqrt[]{2} - \sqrt[]{1}) + (\sqrt[]{3} - \sqrt[]{2}) +...+ (\sqrt[]{100} - \sqrt[]{99}) + (\sqrt[]{101} - \sqrt[]{100})$

$ = \sqrt[]{101} - 1 > \sqrt[]{100} - 1 = 9 ⇒ Q > \frac{9}{2} (1)$ 

Với $∀k ∈ N: \frac{1}{\sqrt[]{k} + \sqrt[]{k + 1}} < \frac{1}{\sqrt[]{k - 1} + \sqrt[]{k}} $

$ ⇔ \frac{2}{\sqrt[]{k} + \sqrt[]{k + 1}} < \frac{1}{\sqrt[]{k - 1} + \sqrt[]{k}} + \frac{1}{\sqrt[]{k} + \sqrt[]{k + 1}}$

$ 2Q = \frac{2}{\sqrt[]{1} + \sqrt[]{2}} + \frac{2}{\sqrt[]{3} + \sqrt[]{4}} + \frac{2}{\sqrt[]{5} + \sqrt[]{6}} +...+ \frac{2}{\sqrt[]{99} + \sqrt[]{100}}$

$ < \frac{1}{\sqrt[]{0} + \sqrt[]{1}} + \frac{1}{\sqrt[]{1} + \sqrt[]{2}} + \frac{1}{\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}} +...+ \frac{2}{\sqrt[]{99} + \sqrt[]{100}}$

$ = 1 + (\sqrt[]{2} - \sqrt[]{1}) + (\sqrt[]{3} - \sqrt[]{2}) +...+ (\sqrt[]{100} - \sqrt[]{99})$

$ = \sqrt[]{100} = 10 ⇒ Q < 5 (2)$ 

Từ $(1); (2)$ có $ \frac{9}{2} < Q < 5 ⇒ Q$ không nguyên