Giải thích các bước giải:
a.Ta có $AD, BE, CF$ là đường cao $\Delta ABC$
$\to \widehat{ADB}=\widehat{AEB}=90^o$
$\to AEDB$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$
$\to\widehat{HBD}=\widehat{EBD}=\widehat{EAD}=\widehat{CAI}=\widehat{ CBI}=\widehat{DBI}$
$\to BD$ là phân giác $\widehat{HBI}$
Mà $AD\perp BC\to BD\perp HI$
$\to \Delta BHI$ có đường cao $BD$ đồng thời là phân giác
$\to \Delta BHI$ cân tại $B$
$\to BD$ là trung trực của $HI$
$\to H,I$ đối xứng qua $BD$
$\to H,I$ đối xứng qua $BC$
b.Ta có $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o\to BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$
Lại có: $M,H$ đối xứng qua $AC$
$\to\widehat{MCA}=\widehat{ACH}=\widehat{ECF}=\widehat{EBF}=\widehat{ABM}$
$\to AMCB$ nội tiếp
$\to M\in (O)$
c.Ta có $AK$ là đường kính của $(O)\to AI\perp IK$
Mà $AI\perp BC\to BC//IK$
$\to \widehat{IBC}=180^o-\widehat{BIK}=\widehat{BCK}$
$\to BCKI$ là hình thang cân
d.Xét $\Delta ADB,\Delta ACK$ có:
$\widehat{ADB}=\widehat{ACK}(=90^o)$ vì $AK$ là đường kính của $(O)$
$\widehat{ABD}=\widehat{ABC}=\widehat{AKC}$
$\to\Delta ADB\sim\Delta ACK(g.g)$
$\to \dfrac{BD}{CK}=\dfrac{AB}{AK}$
$\to AB.CK=BD.AK$
Tương tự chứng minh được $AC.BK=CD.AK$
$\to AB.CK+AC.BK=BD.AK+CD.AK=AK(BD+CD)=AK.BC$
e.Ta có $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o$
$\to AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$
$\to$Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta AEF$ là $\dfrac12AH$
Ta có: $\widehat{BAC}=60^o$
Mà $\dfrac{BC}{\sin\widehat{BAC}}=2R$
$\to BC=R\sqrt{3}$
Lại có: $\widehat{AEB}=\widehat{BEC}=90^o,\widehat{HAE}=\widehat{DAE}=\widehat{EBD}=\widehat{EBC}$
$\to\Delta AHE\sim\Delta BCE(g.g)$
$\to \dfrac{AH}{BC}=\dfrac{AE}{BE}=\cot\widehat{BAE}=\cot60^o=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$\to AH=R$
$\to$Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta AEF$ là $\dfrac12R$
f.Ta có $\widehat{AEF}=\widehat{ABC},\widehat{AFE}=\widehat{ACB}$ vì $BCEF$ nội tiếp
$\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AE}{AB}=\cos\widehat{BAC}$
$\to EF=BC\cos\widehat{BAC}$
Mà $\dfrac{BC}{\sin\widehat{BAC}}=2R\to BC=2R\sin\widehat{BAC}$
$\to EF=2R\sin\widehat{BAC}\cos\widehat{BAC}$
$\to \dfrac{R\sqrt{3}}{2}=2R\sin\widehat{BAC}\cos\widehat{BAC}$
$\to \dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sin\widehat{BAC}\cos\widehat{BAC}$
$\to \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin(2\widehat{BAC})$
$\to 2\widehat{BAC}=60^o$
$\to\widehat{BAC}=30^o$
