Đáp án:
$\\$
`a,`
Xét `ΔAHB` và `ΔAHC` có :
`hat{AHB} = hat{AHC} = 90^o`
`AH` chung
`AB=AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)
`-> ΔAHB = ΔAHC` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
$\\$
$\\$
`b,`
Do `ΔAHB = ΔAHC` (chứng minh trên)
`-> hat{BAH} = hat{CAH}` (2 góc tương ứng)
hay `hat{DAH} = hat{CAH}`
Do $HD//AC$
`-> hat{DHA} = hat{CAH}` (2 góc so le trong)
mà `hat{DAH} = hat{CAH}` (chứng minh trên)
`-> hat{DHA} = hat{DAH} (=hat{CAH})`
`-> ΔAHD` cân tại `D`
`-> AD = DH`
$\\$
$\\$
`c,`
Có : `E` là trung điểm của `AC`
`-> BE` là đường trung tuyến của `ΔABC`
Do `ΔAHB = ΔAHC` (chứng minh trên)
`-> BH = CH` (2 cạnh tương ứng)
`-> H` là trung điểm của `BC`
`-> AH` là đường trung tuyến của `ΔABC`
Do `ΔABC` cân tại `A`
`-> hat{B} = hat{C}`
Do $HD//AC$
`-> hat{DHB} = hat{C}` (2 góc đồng vị)
mà `hat{B}=hat{C}` (chứng minh trên)
`-> hat{DHB} = hat{B} (= hat{C})`
`-> ΔBDH` cân tại `D`
`-> BD = DH`
mà `AD = DH` (chứng minh trên)
`-> AD = BD (= DH)`
`-> D` là trung điểm của `AB`
`-> CD` là đường trung tuyến của `ΔABC`
Xét `ΔABC` có :
`AH` là đường trung tuyến
`CD` là đường trung tuyến
`AH` cắt `CD` tại `G`
`-> G` là trọng tâm của `ΔABC`
mà `BE` là đường trung tuyến của `ΔABC`
`-> BE` đi qua trọng tâm `G`
`-> B,G,E` thẳng hàng
$\\$
$\\$
`d,`
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔABH` có :
`AB + BH > AH` `(1)`
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔACH` có :
`AC + CH > AH` `(2)`
Đem `(1) + (2)` vế với vế ta được :
`-> AB + BH + CH + AC > AH + AH`
`-> AB + (BH + CH) + AC > 2AH`
`->AB + AC + BC > 2AH` `(3)`
Do `G` là trung tâm của `ΔABC`
`BE` là đường trung tuyến
`-> BG = 2/3 BE`
`-> 2BE = 3 BG`
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔABE` có :
`AB + AE > BE` `(4)`
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔBEC` có :
`BC + EC > BE` `(5)`
Đem `(4) + (5)` vế với vế ta được :
`-> AB + AE+ EC + BC > BE + BE`
`-> AB + (AE + EC) + BC > 2BE`
`-> AB + AC + BC > 2BE`
mà `2BE = 3BG` (chứng minh trên)
`-> AB + AC + BC > 3BG` `(6)`
Đem `(3) + (6)` vế với vế ta được :
`-> AB + AC + BC + AB + AC + BC > 2AH + 3BG`
`-> 2AB + 2AC + 2 BC > 2AH + 3BG`
`-> 2 (AB + AC + BC) > 2AH + 3BG`
`-> AB + AC + BC > AH + 3BG`
mà `P_{ΔABC} = AB + AC + BC`
`-> P_{ΔABC} > AH + 2BG`
