Đáp án:
`1)` `(3;9);(-3;9)`
`2)` `m\in {0;2/3}`
Giải thích các bước giải:
`1)` Điểm thuộc `(P)y=x^2` có tung độ bằng $9$
`=>y=9`
`<=>9=x^2`
`<=>`$\left[\begin{array}{l}x=3\\x=-3\end{array}\right.$
Vậy có hai điểm thuộc `(P)` có tung độ bằng $9$ là `(3;9)` và `(-3;9)`
$\\$
`2)` Phương trình hoành độ giao điểm của `(P)y=x^2` và `(d)y=2(m-1)x+m^2+2m` là:
`\qquad x^2=2(m-1)x+m^2+2m`
`<=>x^2-2(m-1)x-m^2-2m=0` $(1)$
Ta có: `a=1;b=-2(m-1);c=-m^2-2m`
`=>b'=b/2=-(m-1)`
`∆'=b'^2-ac=[-(m-1)]^2-1.(-m^2-2m)`
`=m^2-2m+1+m^2+2m`
`=2m^2+1\ge 1>0` với mọi `m`
`=>` Phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi `m`
`=>(d)` luôn cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt `A(x_1;y_1);B(x_2;y_2)`
Vì `A(x_1;y_1);B(x_2;y_2)\in (P)y=x^2`
`=>`$\begin{cases}y_1=x_1^2\\y_2=x_2^2\end{cases}$
Theo hệ thức Viet ta có:
$\quad \begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2(m-1)=2m-2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-m^2-2m\end{cases}$
Để `y_1+y_2=4`
`<=>x_1^2+x_2^2=4`
`<=>(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-2x_1x_2=4`
`<=>(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4`
`<=>(2m-2)^2-2.(-m^2-2m)=4`
`<=>4m^2-8m+4+2m^2+4m=4`
`<=>6m^2-4m=0`
`<=>2m(3m-2)=0`
`<=>`$\left[\begin{array}{l}2m=0\\3m-2=0\end{array}\right.$
`<=>`$\left[\begin{array}{l}m=0\\m=\dfrac{2}{3}\end{array}\right.$
Vậy `m\in {0;2/3}` thỏa đề bài
