Ta có
a³ + b³ = 2
⇔ (a + b)( a² - ab + b² ) = 2
⇔ a + b = $\frac{2}{a² - ab + b²}$
lại có :
2( a - b)² ≥ 0
⇔ 2a² -4ab + 2b² ≥ 0
⇔ 4a² - 4ab + 4b² ≥ 2a² + 2b²
⇔ 4( a² - ab + b² ) ≥ 2 ( a² + b² ) ≥ ( a + b)²
⇔ a² - ab + b² ≥ $\frac{(a + b )²}{4}$
⇒ $\frac{2}{a² - ab + b²}$≤ $\frac{8}{( a + b)^2}$
⇒ a + b ≤ $\frac{8}{( a + b)^2}$
⇔ ( a + b)³ ≤ 8
⇔ a + b ≤ 2
vậy MAX của N = 2 ⇔ a=b =1