Giải thích các bước giải:
a.Ta có đồ thị hàm số $(P): y=-\dfrac{x^2}{2}$ là Parabol có đỉnh $(0,0)$ và đi qua $5$ điểm $(2,-2), (-2,-2), (4,-8), (-4,-8)$
b.Ta có $M\in (P), x_m=4$
$\to y_m=-\dfrac{4^2}{2}=-8$
$\to M(4,-8)$
$\to$Phương trình đường thẳng đi qua $O(0,0), M(4,-8)$ là:
$$y=-2x$$
c.Gọi $A$ là điểm có hoành độ là $2$ trên đồ thị $(P)$
$\to y_a=-\dfrac{2^2}{2}=-2\to A(2,-2)$
$\to$Phương trình đường thẳng $(D_1)$ đi qua $A(2,-2)$ và song song với $(D_2):y=2x+1$ là:
$y=2(x-2)+(-2)\to y=2x-6$
d.Để $(P)\cap (D_2):y=x+2m$ tại điểm có hoành độ $x=2$
$\to$Phương trình $-\dfrac{x^2}{2}=x+2m$ có nghiệm $x=2$
$\to -\dfrac{2^2}{2}=2+2m$
$\to -2=2+2m$
$\to 2m=-4$
$\to m=-2$
e.Để $(P)\cap (D_2)$ tại điểm có hoành độ bằng $-2$
$\to -\dfrac{x^2}{2}=\dfrac12x-2m$ có nghiệm $x=-2$
$\to -\dfrac{(-2)^2}{2}=\dfrac12\cdot (-2)-2m$
$\to -2=-1-2m$
$\to m=\dfrac12$
f.Ta có $x_a=-2\to y_a=-\dfrac{(-2)^2}{2}=-2\to A(-2,-2)$
$x_b=4\to y_b=-\dfrac{4^2}{2}=-8\to B(4,-8)$
$\to$Phương trình $AB$ là:
$\dfrac{x-(-2)}{4-(-2)}=\dfrac{y-(-2)}{-8-(-2)}$
$\to \dfrac{x+2}{6}=\dfrac{y+2}{-6}$
$\to x+2=-(y+2)$
$\to x+y+4=0$
g.Ta có $y=-4\to -4=-\dfrac{x^2}{2}$
$\to x^2=8$
$\to x=\pm2\sqrt{2}$
$\to (2\sqrt{2},- 4),(-2\sqrt{2},- 4)$ là điểm thuộc $(P)$ có tung độ bằng $-4$
h.Ta có: $y=2x$
Mà $y=-\dfrac{x^2}{2}$
$\to 2x=-\dfrac{x^2}{2}$
$\to 4x=-x^2$
$\to x^2+4x=0$
$\to x(x+4)=0$
$\to x\in\{0,-4\}$
$\to y\in\{0,-8\}$
$\to (0,0), (-4,-8)$ là hai điểm cần tìm
i.Ta có: $2y=3x\to y=\dfrac32x$
Mà $y=-\dfrac{x^2}{2}\to \dfrac32x=-\dfrac{x^2}{2}$
$\to 3x=-x^2$
$\to x^2+3x=0$
$\to x(x+3)=0$
$\to x\in\{0,-3\}$
$\to y\in\{0,-\dfrac92\}$
$\to (0,0), (-3,-\dfrac92)\}$ là $2$ điểm cần tìm
k.Gọi điểm cần tìm là $A$
Vì điểm $A$ cách đều $2$ trục tọa độ $\to A(a,a)$ hoặc $A(a,-a)$
Mà $A\in (P)$
$\to a=-\dfrac{a^2}{2}\to 2a=-a^2\to a^2+2a=0\to a(a+2)=0\to a\in\{0,-2\}\to A(0,0)$ hoặc $A(-2,-2)$
Hoặc $-a=-\dfrac{a^2}{2}\to 2a=a^2\to a^2-2a=0\to a(a-2)=0\to a\in\{0,2\}\to A(0,0)$ hoặc $A(2,-2)$
$\to $Điểm thuộc $(P)$ cách đều $2$ trục tọa độ là $A(0,0), A(-2,-2), A(2,-2)$
