Giải thích các bước giải:
Bài 6 :
a) $ĐKXĐ : x \neq 4, x \neq 9, x ≥ 0 $
$Q = \dfrac{2\sqrt[]{x}-9}{x-5\sqrt[]{x}+6} -\dfrac{\sqrt[]{x}+3}{\sqrt[]{x}-2} - \dfrac{2\sqrt[]{x}+1}{3-\sqrt[]{x}}$
$ = \dfrac{2\sqrt[]{x}-9 -(\sqrt[]{x}+3).(\sqrt[]{x}-3) + (2\sqrt[]{x}+1).(\sqrt[]{x}-2)}{(\sqrt[]{x}-3).(\sqrt[]{x}-2)}$
$ = \dfrac{2\sqrt[]{x} - 9 - x + 9 + 2x-3\sqrt[]{x}-2}{(\sqrt[]{x}-3).(\sqrt[]{x}-2)}$
$ = \dfrac{x-\sqrt[]{x} - 2}{(\sqrt[]{x}-3).(\sqrt[]{x}-2)}$
$ =\dfrac{(\sqrt[]{x}-2).(\sqrt[]{x}+1)}{(\sqrt[]{x}-3).(\sqrt[]{x}-2)}$
$ = \dfrac{\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}-3}$
b) Để $Q<1$ thì $
$\dfrac{\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}-3} -1 < 0 $
$⇔\dfrac{4}{\sqrt[]{x}-3} < 0 $
$⇔ \sqrt[]{x} < 3 $
$⇔ x<9$ kết hợp với $ĐKXĐ$
$⇔0≤x<9, x\neq 4$
c)
Để $Q$ nguyên mà $x$ nguyên thì :
$\sqrt[]{x}+1 \vdots \sqrt[]{x}-3$
$\to 4 \vdots \sqrt[]{x}-3$
$\to \sqrt[]{x}-3 \in Ư(4)$
$\to \sqrt[]{x}-3 \in \big\{-1,1,-2,2,-4,4\big\}$
$\to \sqrt[]{x} \in \big\{2,4,1,5,-1,7\big\}$
$\to x \in \big\{4,16,1,25,49\big\}$ kết hợp với $ĐKXĐ$
$\to x \in \big\{4,16,1,25,49\big\}$
Bài 7 :
a) $ĐKXĐ : x \neq y; x,y ≥ 0 $
Ta có : $H = \bigg(\dfrac{x-y}{\sqrt[]{x}-\sqrt[]{y}} - \dfrac{\sqrt[]{x^3} - \sqrt[]{y^3}}{x-y}\bigg):\dfrac{(\sqrt[]{x}-\sqrt[]{y})^2 + \sqrt[]{xy}}{\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}}$
$ = \bigg[\dfrac{(\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y})^2-(x+y+\sqrt[]{xy})}{\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}}\bigg]:\dfrac{x+y-\sqrt[]{xy}}{\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}}$
$ = \dfrac{\sqrt[]{xy}}{x+y-\sqrt[]{xy}}$
b) Ta thấy : $x+y ≥ 2\sqrt[]{xy}$ với $x,y ≥ 0$
$⇔ x+y-\sqrt[]{xy} ≥ \sqrt[]{xy} > 0$ khi $x \neq y$
Mặt khác $\sqrt[]{xy} ≥ 0 ∀ x,y≥0$
Nên : $\dfrac{\sqrt[]{xy}}{x+y-\sqrt[]{xy}} ≥ 0$
c) Xét hiệu $H-1 = \dfrac{\sqrt[]{xy}}{x+y-\sqrt[]{xy}} - 1$
$ = -\dfrac{(\sqrt[]{x}-\sqrt[]{y})^2}{x+y-\sqrt[]{xy}} ≤ 0$
Nên $H ≤ 1$
$⇔\sqrt[]{H} ≤ 1$
$⇔\sqrt[]{H}.(\sqrt[]{H} -1) ≤ 0$
Hay : $H ≤ \sqrt[]{H}$
Nhưng $x \neq y$ nên dấu "=" không xảy ra .
Vây $H < \sqrt[]{H}$
