Giải thích các bước giải:
1.Ta có $AD$ là đường kính $\to O$ là trung điểm $AD$
Mà $M$ là trung điểm $AC$
$\to OM$ là đường trung bình $\Delta ACD$
$\to OM//CD$
2.Ta có $M$ là trung điểm $AC\to OM\perp AC$
Gọi $E$ là trung điểm $MC$
Do $I$ là trung điểm $OD, OM//CD$
$\to IE$ là đường trung bình hình thang $OMCD$
$\to IE//OM//CD$
$\to IE\perp CM$
Lại có $E$ là trung điểm $CM$
$\to IE$ là trung trực $CM$
$\to IM=IC$
$\to\Delta ICM$ cân tại $I$
3.Ta có $\Delta ABC$ cân tại $A\to AO$ là phân giác $\hat A$
Vì $\Delta IMC$ cân tại $I, AD$ là trung trực $BC$
$\to\widehat{IMC}=\widehat{ICM}=\widehat{ICA}=\widehat{IBA}$
$\to MIBA$ nội tiếp
$\to \widehat{NMI}=\widehat{BMI}=\widehat{BAI}=\widehat{IAC}=\widehat{IAM}$
Mà $\widehat{NIM}=\widehat{AIM}$
$\to\Delta IMN\sim\Delta IAM(g.g)$
$\to\dfrac{IM}{IA}=\dfrac{IN}{IM}$
$\to IM^2=IA.IN$
Do $IM=IC$
$\to IC^2=IA.IN$
