Hình vẽ (Hình dưới):
a, Xét (O) có:
$\widehat{ABM}=\frac{1}{2}sđ\overparen{BM}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến AB và dây BM)
$\widehat{BNM}=\frac{1}{2}sđ\overparen{BM}$ (góc nội tiếp chắn cung $\overparen{BM}$)
⇒ $\widehat{ABM}=\widehat{BNM}$ ⇒ $\widehat{ABM}=\widehat{ANB}$
Xét ΔABM và ΔANB có
$\widehat{ABM}=\widehat{ANB}$ (cmt)
$\widehat{A_{1}}$: góc chung
⇒ ΔABM~ΔANB (g.g)
⇒ $\frac{AB}{AN}=\frac{AM}{AB}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇒ AB²=AM.AN (*)
b, Xét (O) có:
AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A
B, C là hai tiếp điểm
⇒ AB=AC, AO là phân giác $\widehat{BAC}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Xét (O) có: OB=OC=R⇒ O thuộc đường trung trực của BC
Có AB=AC (cmt)⇒ A thuộc đường trung trực của BC
⇒ OA là đường trung trực của BC
⇒ OA⊥BC tại H
Xét (O) có: AB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm
⇒ AB⊥OB ⇒ $\widehat{ABO}=90°$
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔABO vuông tại B ($\widehat{ABO}=90°$), BH⊥OA (OA⊥BC tại H) có: AB²=AH.AO (**)
Từ (*) và (**) ⇒ AH.AO=AM.AN
c, OA là trung trực của BC (cmt)
OA cắt (O) tại I (gt) ⇒ IB=IC ⇒ $\overparen{IB}=\overparen{IC}$
Xét (O) có:
$\widehat{ABI}=\frac{1}{2}sđ\overparen{IB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến AB và dây BI)
$\widehat{IBC}=\frac{1}{2}sđ\overparen{IC}$ (góc nội tiếp chắn cung $\overparen{IC}$)
$\overparen{IB}=\overparen{IC}$ (cmt)
⇒ $\widehat{ABI}=\widehat{IBC}$ ⇒ BI là phân giác $\widehat{ABC}$
Có AO là phân giác $\widehat{BAC}$ (cmt)
AO cắt (O) tại I (gt) ⇒ AI là phân giác $\widehat{BAC}$
Xét ΔABC có:
AI là phân giác $\widehat{BAC}$ (cmt)
BI là phân giác $\widehat{ABC}$ (cmt)
AI cắt BI tại I
⇒ I là giao điểm của ba đường phân giác của ΔABC
⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC
