`a,`
`AH\botBC` $(gt)$ `⇒` `\hat{AHB}=\hat{AHC}=90^o`
Xét `ΔABC` có:
`BC^2=13^2=169`
`AB^2+AC^2=5^2+12^2=25+144=169`
`⇒BC^2=AB^2+AC^2`
⇒ `ΔABC` vuông tại `A` (Định lý Pytago đảo)
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔABC` vuông tại `A`, `AH\botBC` có:
`AH.BC=AB.AC`
Hay `AH.13=5.12`
`⇔AH.13=60`
`⇔AH=60/13` `(cm)`
`b,`
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔAHB` vuông tại `H` (`\hat{AHB}=90^o`), `HE\botAB` có: `AH^2=AE.AB`
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔAHC` vuông tại `H` (`\hat{AHC}=90^o`), `HE\botAB` có: `AH^2=AF.AC`
⇒ `AE.AB=AF.AC`
`c,`
`AE.AB=AF.AC` $(cmt)$
⇒ `{AE}/{AC}={AF}/{AB}`
Xét `ΔAEF` và `ΔABC` có:
`{AE}/{AC}={AF}/{AB}` $(cmt)$
`hat{BAC}`: góc chung
`⇒ΔAEF`$\backsim$`ΔABC` `(c.g.c)`
`d,`
`AH^2=AE.AB` $(cmt)$
Hay `(60/13)^2=AE.5`
`⇔AE=(60/13)^2:5=3600/169:5=720/169`
`ΔAEF`$\backsim$`ΔABC` $(cmt)$
`⇒k={AE}/{AC}={720/169}/{12}={60}/{169}`
`⇒{S_{AEF}}/{S_{ABC}}=k^2=({60}/{169})^2={3600}/{28561}`
