Đáp án:
$m\in \{0;2\}$
Giải thích các bước giải:
$1)$ Tự khảo sát
$2)\quad y = 2x^3 - 3(m+1)x^2 + 6mx$
$\Rightarrow y' = 6x^2 - 6(m+1)x + 6m$
Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow \Delta_{y'} >0$
$\Leftrightarrow 9(m+1)^2 - 36m >0$
$\Leftrightarrow (m-1)^2 >0$
$\Leftrightarrow m \ne 1$
Ta có:
$\quad y = y'\cdot \left(\dfrac{x}{3} - \dfrac{m+1}{6}\right) -(m-1)^2x + m(m+1)$
$\Rightarrow d: y = -(m-1)^2x + m(m+1)$ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A, B$
Khi đó:
$\quad d\perp d': y = x +2$
$\Leftrightarrow (m-1)^2\cdot 1 = -1$
$\Leftrightarrow |m - 1| = -1$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m =0\\m = 2\end{array}\right.$ (nhận)
Vậy $m \in \{0;2\}$
