Đáp án:
$m = -2\ \lor\ m = 0$
Giải thích các bước giải:
$\quad y = -x^3 + 3x^2 + m(m+2)x + 1$
$\Rightarrow y' = -3x^2 + 6x + m(m+2)$
Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow \Delta_{y'}' >0$
$\Leftrightarrow 9 + 3m(m+2) >0$
$\Leftrightarrow m^2 + 2m + 3 >0$ (luôn đúng)
$\Rightarrow$ Hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị $m$
Ta có: $y'' = -6x + 6$
$y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = m^2 + 2m + 3$
$\Rightarrow U(1;m^2 + 2m + 3)$ là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho
Khi đó:
Hai điểm cực trị $A,\ B$ đối xứng nhau qua $I(1;2)$
$\Leftrightarrow I$ là điểm uốn của đồ thị hàm số
$\Leftrightarrow I\equiv U$
$\Leftrightarrow m^2 + 2m + 3 = 3$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 0\\m = -2\end{array}\right.$
Vậy $m = -2\ \lor\ m = 0$
