$ x^2 + ( 2m - 1 )x - m = 0 $
( a = $1$ ; b = $ 2m - 1 $ ; c = $ -m $ )
Δ $ = b^2 - 4ac $
$ = ( 2m - 1 )^2 - 4 × 1 × ( -m ) $
$ = 4m^2 - 4m + 1 + 4m $
$ = 4m^2 + 1 > 0 $ $ ∀ m $
Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt $∀ m $
Áp dụng hệ thức Vi - ét :
$\begin{cases} S = x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a} = -2m + 1 \\\\ \\ P = x_1 × x_2 = \dfrac{c}{a} = -m \end{cases}$
Ta có : $ A = x_1^2 + x_2^2 - 6x_1x_2 $
$ = S^2 - 2P - 6P $
$ = S^2 - 8P $
$ = ( -2m + 1 )^2 -8 × ( - m) $
$ = 4m^2 - 4m + 1 + 8m $
$ = 4m^2 + 4m + 1 \to ( 2m + 1 )^2 ≥ 0 $ $ ∀ m $
Hoặc : $ = ( 2m )^2 + 2×2m×1 + 1^2 - 1^2 + 1 $
$ = ( 2m + 1 )^2 - 1 + 1 $
$ = ( 2m + 1 )^2 ≥ 0 $ $ ∀ m $
Dấu " = " xảy ra khi $ ⇔ 2m + 1 = 0 $
$ ⇔ 2m = -1 $
$ ⇒ m = \dfrac{ -1 }{2 } $
Vậy $ m = \dfrac{ -1 }{2 } $ thì biểu thức $A$ có giá trị nhỏ nhất
