Vẽ $OE\perp ON$ $\quad (E\in BC)$
Vẽ $OH;OK$ lần lượt vuông góc $AB;BC$ tại $H;K$
$ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ tâm $O$
`=>AC`$\perp BD$ tại $O$; $O$ là trung điểm $BD$
Xét $∆BCD$ có:
$\quad O$ là trung điểm $BD$
$\quad OK$//$DC$ (cùng $\perp BC$)
`=>K` là trung điểm $BC$
`=>OK` là trung tuyến $∆OBC$ vuông tại $O$
`=>OK={BC}/2=a/2`
`=>OK^2=a^2/4`
$\\$
Xét tứ giác $OHBK$ có:
`\hat{OHB}=\hat{HBK}=\hat{OKB}=90°`
`=>OHBK` là hình chữ nhật $(1)$
Mà $BD$ là đường chéo của hình vuông $ABCD$
`=>BD` là phân giác của `\hat{ABC}`
`=>BD` là phân giác của `\hat{HBK}` $(2)$
Từ `(1);(2)=>OHBK` là hình vuông
`=>OH=OK=BH=BK; \hat{HOK}=90°`
`=>\hat{MOH}+\hat{MOK}=90°`
Mà `\hat{MOE}=90°=\hat{MOK}+\hat{EOK}`
`=>\hat{MOH}=\hat{EOK}`
$\\$
Xét $∆MOH$ và $∆EOK$ có:
`\qquad \hat{MOH}=\hat{EOK}` (c/m trên)
`\qquad OH=OK` (c/m trên)
`\qquad \hat{OHM}=\hat{OKE}=90°`
`=>∆MOH=∆EOK` (g-c-g)
`=>OM=OE` (hai cạnh tương ứng)
$\\$
Xét $∆OEN$ vuông tại $O$ có $OK\perp EN$
`=>1/{OE^2}+1/{ON^2}=1/{OK^2}` (hệ thức lượng)
`=>1/{OM^2}+1/{ON^2}=1/{{a^2}/4}=4/{a^2}`
Vậy: `1/{OM^2}+1/{ON^2}=4/{a^2}` (đpcm)
