Bài 1:

1) $A=\dfrac{x+2}{(\sqrt x-1)(x+\sqrt x+1)}+\dfrac{\sqrt x}{x+\sqrt x+1}-\dfrac{1}{\sqrt x-1}$

$=\dfrac{x+2+\sqrt x(\sqrt x-1)-(x+\sqrt x+1)}{(\sqrt x-1)(x+\sqrt x+1)}=\dfrac{x+2+x-\sqrt x-x-\sqrt x-1}{(\sqrt x-1)(x+\sqrt x+1)}$

$=\dfrac{x-2\sqrt x+1}{(\sqrt x-1)(x+\sqrt x+1)}=\dfrac{(\sqrt x-1)^2}{(\sqrt x-1)(x+\sqrt x+1)}$

$=\dfrac{\sqrt x-1}{x+\sqrt x+1}$

2) $A=\dfrac{2}{13}\Rightarrow \dfrac{\sqrt x-1}{x+\sqrt x+1}=\dfrac{2}{13}$

$\Rightarrow 13(\sqrt x-1)=2(x+\sqrt x+1)$

$\Rightarrow 13\sqrt x-13=2x+2\sqrt x+2$

$\Rightarrow 2x-11\sqrt x+15=0$

Đặt $\sqrt x=t(t\ge0)$

$\Rightarrow 2t^2-11t+15=0$

$t=3$ hoặc $t=\dfrac{5}{2}$ do $x\ge 0$

Vậy $x=\{\sqrt 3;\dfrac{5}{2}\}$

3) Xét $B=\dfrac{\sqrt x-1}{x+\sqrt x+1}-1=\dfrac{\sqrt x-1-x-\sqrt x-1}{x+\sqrt x+1}=\dfrac{-x-2}{x+\sqrt x+1}$

Do $x+\sqrt x+1>0\forall x$

$-x-2<0\forall x\ge0,x\ne 1$

$\Rightarrow B<0$

$\Rightarrow \dfrac{\sqrt x-1}{x+\sqrt x+1}-1<0$

$\Rightarrow 0<\dfrac{\sqrt x-1}{x+\sqrt x+1}<1$

$\Rightarrow A<\sqrt A$

Bài 2:

1.a) $\dfrac{2}{\sqrt 3}+3\sqrt{\dfrac{1}{3}}-2\sqrt{27}-\sqrt{(2-\sqrt3)^2}$

$=\dfrac{2}{\sqrt 3}+\sqrt 3-2.3.\sqrt 3-(2-\sqrt 3)$

$=\dfrac{2}{\sqrt 3}-4\sqrt 3-2$

b) $\dfrac{6}{3-\sqrt 7}-2\sqrt 7-\dfrac{\sqrt{28}-\sqrt{21}}{\sqrt3-2}$

$=\dfrac{6}{3-\sqrt 7}-2\sqrt 7-\dfrac{2\sqrt{7}-\sqrt3\sqrt{7}}{\sqrt3-2}$

$=\dfrac{6}{3-\sqrt 7}-2\sqrt 7+\sqrt 7=\dfrac{6}{3-\sqrt 7}$

2. Phương trình $\sqrt{x^2+x-20}=\sqrt{x-4}$

Đk: $x\ge 4$

Bỉnh phương cả 2 vế ta có:

$x^2+x-20=x-4$

$\Rightarrow x^=16$

$\Rightarrow x=4$ (nhận) và $x=-4$ (loại)

Vậy phương trình có nghiệm $x=4$

3. Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta$ vuông $ABC$ có:

$\tan\widehat{BAC}=\dfrac{BC}{AB}$

$\Rightarrow BC=AB.\tan\widehat{BAC}=160.\tan20^o≈58$

Vậy Khoảng cách $BC$ là $58 m$

Bài 3:

a) Với $m=-2$ thì $y=-3x-3$

Với $x=0\Rightarrow y=-3$

Với $y=0\Rightarrow x=-1$

Do đó đồ thị hàm số đi qua 2 điểm $(0;-3)$ và $(-1;0)$

Đồ thị hàm số như hình vẽ.

b) Để (1) song song với $y=2x+1$ thì $m-1=2\Rightarrow m=3$ (thỏa mãn)

c) (1) cắt $y=2x-7$ tại điểm có hoành độ bằng 2 thì điểm có hoàn độ bằng 2 thỏa mãn phương trình đường thẳng $y=2x-7$

$\Rightarrow y=2.2-7=-3$

Do đó tọa độ giao điểm là: $(2,-3)$

Giao điểm cũng thuộc đồ thị (1) nên:

$-3=(m-1).2+2m+1$

$\Rightarrow m=\dfrac{-1}{2}$

d) Với $x=-2$ đồ thị (1) có $y=(m-1).(-2)+2m+1=3$

Vậy đồ thị (1) luôn đi qua điểm cố định $(-2,3)$ với mọi m.

Bài 4:

Tam giác $ABO$ cân đỉnh $O$ (do $OA=OB$) có $OH$ là đường cao nên $OH$ cũng là đường phân giác nên $\widehat{AOH}=\widehat{BOH}$

Xét $\Delta AOM$ và $\Delta BOM$ có:

$OA=OB$ (=R)

$\widehat{AOM}=\widehat{BOM}$ (cmt)

$OM$ chung

$\Rightarrow \Delta AOM=\Delta BOM$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{OBM}=\widehat{OAM}=90^o$

$\Rightarrow MB\bot OB\Rightarrow MB$ là tiếp tuyến $(O)$

Tứ giác $MAOB$ có $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=180^o$

$\Rightarrow M,A,O,B$ cùng thuộc một đường tròn

Lại có $\Delta AMO\bot A\Rightarrow A,M,O$ nội tiếp đường tròn đường kính (MO)

Vậy $A,M,B,O$ nội tiếp đường tròn đường kính $(MO)$

b) Tam giác $AED$ nội tiếp đường tròn $(O)\Rightarrow \widehat{AED}=90^o$

$\Rightarrow AE\bot MD$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $AMD$ có:

$AM^2=ME.MD$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $AMO$ có:

$AM^2=MH.MO$

Từ 2 điều trên suy ra:

$AM^2=MH.MO=ME.MD$ (đpcm)

Xét $\Delta HME$ và $\Delta DMO$

$\dfrac{MH}{MD}=\dfrac{ME}{MO}$ suy ra từ điều vừa chứng minh

$\widehat{M}$ chung

$\Rightarrow $$\Delta HME$ đồng dạng $\Delta DMO$

$\Rightarrow\widehat{EHM}=\widehat{ODM}$

c) $S_{MPQ}=2S_{MPO}=2.\dfrac{1}{2}.OA.MP=OA.MP$ OA cố định

nên diện tích nhỏ nhất khi $MP$ nhỏ nhất

Để $MP$ đạt nhỏ nhất thì $\Delta OMP$ vuông cân đỉnh $O$

$\Rightarrow A$ là trung điểm của $MP\Rightarrow OA=AM=OB=MB$ và có thêm $\widehat{A}=90^o$

$\Rightarrow AMBO$ là hình vuông cạnh R

Vậy để diện tích đạt giá trị nhỏ nhất thì M là điểm thỏa mãn $MA=R$

Khi đó $S_{MPQ}=MP.OA=2MA.OA=2R^2$

Bài 5:

Ta có: $2\sqrt y+\sqrt z=\dfrac{1}{\sqrt x}$ (x, y, z $\ge 0$)

$\Rightarrow 2\sqrt{xy}+\sqrt{zx}=1$

Mà $2\sqrt{xy}\le x+y$ (theo bất đẳng thức Cosi trung bình cộng lớn hơn bằng trung bình nhân)

Tương tự $\sqrt{zx}\le\dfrac{x+z}{2}$

$\Rightarrow 2\sqrt{xy}+\sqrt{zx}\le x+y+\dfrac{x+z}{2}=\dfrac{3x+3y+z}{2}$

$\Rightarrow 3x+2y+z\ge2$

$A=\dfrac{3yz}{x}+\dfrac{4zx}{y}+\dfrac{5xy}{z}$

$=\left({\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}}\right)+\left({\dfrac{2yz}{x}+\dfrac{2xy}{z}}\right)+\left({\dfrac{3zx}{y}+\dfrac{3xy}{z}}\right)$

$=\left({\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}}\right)+2\left({\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xy}{z}}\right)+3\left({\dfrac{zx}{y}+\dfrac{xy}{z}}\right)$

Theo bất đẳng thức Cosi ta có:

$\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{yz}{x}.\dfrac{zx}{y}}=2z$

Tương tự: $\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xy}{z}\ge2y$, $\dfrac{zx}{y}+\dfrac{xy}{z}\ge2z$

$\Rightarrow A\ge2z+2.2y+3.2x=2(z+2y+3x)\ge2.2=4$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z\Rightarrow 2x+x=3\Rightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}$