Giải thích các bước giải:
a.Ta có $\hat B=180^o-\hat A-\hat C=60^o$ mà $AH\perp BC$
$\to \Delta AHB$ là nửa tam giác đều
$\to BH=\dfrac12AB=5, AH=\dfrac{BA\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$
Ta có $AH\perp BC\to \widehat{AHC}=90^o,\widehat{ACH}=\hat C=45^o$
$\to\Delta AHC$ vuông cân tại $H\to HC=HA=5\sqrt{3}, AC=AH\sqrt{2}=5\sqrt{6}$
$\to BC=HB+HC=5+5\sqrt{6}$
$\to S_{ABC}=\dfrac12AH\cdot BC=\dfrac12\cdot 5\sqrt{3}\cdot (5+5\sqrt{6})$
b.Ta có:
$HE\perp AB\to\widehat{AEH}=\widehat{AHB}=90^o$
Mà $\widehat{EAH}=\widehat{BAH}\to\Delta AEH\sim\Delta AHB(g.g)$
$\to\dfrac{AE}{AH}=\dfrac{AH}{AB}$
$\to AE.AB=AH^2$
Tương tự chứng minh được $AF.AC=AH^2\to AE.AB=AF.AC$
c.Ta có $\Delta AEH$ vuông tại $E, M$ là trung điểm $AH\to MA=\dfrac12AH$
Tương tự $MF=\dfrac12 AH\to ME=MF$
$\to \Delta MEF$ cân tại $M$
Mà $N$ là trung điểm $EF\to MN\perp EF$
